Rosaria, il babbo e le tabelline
di Maria Giovanna Melis

Rosaria ha frequentato, nell'a.s. 2005/2006, la classe seconda primaria. È stata alle prese con le tabelline che - davvero - non sono molto amate dai bambini! Eleonora, un'altra bambina, piangeva quando le studiava e affermava, indispettita, " Non riesco proprio a capire perché le chiamino Ta-belline. Sarebbe più corretto chiamarle Ta-bruttine."
Rosaria come Eleonora?
Il babbo  sa che occorre suscitare curiosità per far 'innamorare' Rosaria. Forse, ha trasformato la tabella della moltiplicazione in un'isola ricca di tesori e ha guidato Rosaria in un viaggio di scoperta stimolante e creativo, alla ricerca di soluzioni possibili.:-)
Ringrazio moltissimo Dino Liberatore per aver voluto arricchire con i suoi approfondimenti e le ulteriori scoperte il lavoro sulla tabella. Le sue chiare osservazioni mi sono servite anche con i piccoli di seconda, ai quali ho raccontato di Rosaria e del babbo.
Rosaria e il babbo sono diventati nostri amici.
Grazie!

Tavola pitagorica
di Dino Liberatore

Tutti noi conosciamo la tabella pitagorica e il suo utilizzo nella matematica. L’abbiamo studiata sin dalle scuole elementari, ma pochi sanno che essa porta ancora oggi questo nome per errore: le tavolette quadrangolari usate dai romani per calcolare gli abachi portavano delle scalanature entro le quali venivano disposte o le pietruzze, dette calculi, o i dischetti metallici usati per fare i conti; sopra le scalanature figuravano i simboli, chiamati apici, che indicavano il valore della colonna, simboli che la tradizione medioevale fa risalire a Pitagora e ai pitagorici. Nelle scuole claustrali medievali gli abachi vennero pertanto chiamati mense o tavole pitagoriche ed è con quest’ultimo nome che l’immagine di un abaco apparve nel De Geometria, manoscritto del 500 dopo Cristo attribuito a Boezio. Nel copiare questo manoscritto un monaco amanuense commise però l’errore di scambiare la figura dell’abaco con quella di una tavola di moltiplicazione per cui, da allora, il nome di tavola pitagorica viene attribuito alla tabella dei prodotti dei numeri naturali. Nel Medioevo il moltiplicare si diceva facere e il prodotto factum, da cui i factores. Il segno “´” ebbe origine dalla disposizione dell’operazione a crocetta, così come era uso operare Leonardo Pisano nel suo Liber Abaci (1202). Oggigiorno il segno di moltiplicazione è stato sostituito dal simbolo puntino, “·”, più comodo.

Ma rivediamola questa famigerata tabellina pitagorica nella quale notiamo subito che i prodotti nelle righe e nelle colonne uno, tre, cinque, sette, nove ed undici, ovvero in tutte quelle dispari, si alternano prodotti pari e prodotti dispari; le restanti caselle contengono invece solo prodotti pari essendoci in essi sempre il fattore due. In altre parole solo moltiplicando un numero dispari per un numero dispari si ottiene quale risultato un numero dispari; in tutti gli altri casi (pari per pari e pari per dispari) si ottiene sempre un numero pari!

È chiaro che i numeri primi compaiono nella tabella solo nella riga e nella colonna uno. Osserviamo però ora una colonna, o una riga, a caso, ad esempio la sette, ma è ovvio che ciò che stiamo per dire vale per qualsiasi riga o colonna; in questo caso, la somma del primo con l’ultimo prodotto è pari ad 84, altrettanto la somma del secondo con il penultimo, e così via con tutti gli altri, quindi possiamo scrivere:

0 + 84 = 7 + 77 = 14 + 70 = 21 + 63 = 28 + 56 = 35 + 49 = 42 + 42 = 84

Confrontando poi, per esempio, le righe e le colonne del quattro e dell’otto, si osserva una certa regolarità: otto è il doppio di quattro, quattro è la metà di otto e tutti i prodotti presenti nella riga dell’otto sono il doppio dei prodotti presenti nella riga del quattro:

Moltiplicando per due

0   4    8    12    16   20   24   28   32   36    40   44   48

dividendo per due

0   8   16   24    32   40   48   56   64   72    80   88   96

Nella tabella pitagorica su riportata abbiamo evidenziato in rosso la diagonale dei quadrati, ovvero di quei numeri che sono moltiplicati per sé stessi, che parte dal segno di moltiplicazione. Si osservi che la tabella è simmetrica rispetto a tale diagonale, per cui le caselle fra loro simmetriche hanno lo stesso prodotto. Questo dipende dal fatto che il risultato della moltiplicazione non cambia se si cambiano di posto i due fattori. Dunque, la moltiplicazione possiede:

La proprietà commutativa: invertendo gli ordini dei fattori il prodotto non cambia:

a·b = b·a

La proprietà associativa: il prodotto di più numeri non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto:

(a·b)·c = a·(b·c)

L’elemento assorbente che è lo zero: ogni numero moltiplicato per zero dà come prodotto zero:

a·0 = 0

L’elemento neutro che è l’uno: ogni numero moltiplicato per uno dà come prodotto sé stesso:

a·1 = a

Quando si studiano a scuola le tabelline, viene molto in aiuto la proprietà commutativa: è sufficiente, infatti, memorizzare solo un po’ più della metà dei prodotti per conoscerli tutti. In tal modo la stessa risulta quasi dimezzata! Notiamo anche che i numeri che si trovano nelle due diagonali rosa vicine alla diagonale rossa dei numeri quadrati, sono minori di un’unità del numero quadrato. Quindi per calcolare, ad esempio, 9·7 si potrebbe anche procedere in questo modo:

9·7 = (9 - 1)·(7 + 1) - 1 = 8·8 - 1 = 64 - 1 = 63

che anche aiuta a ricordare meglio i valori contenuti nella tavola pitagorica. I prodotti posti sulle diagonali successive, sempre parallele a quella principale dei numeri quadrati, differiscono da quelli presenti su quest’ultima di una quantità pari a quante sono le diagonali che la separano elevate al quadrato; quindi essi possono ottenersi anche conoscendo solo i quadrati dei numeri posti sulla diagonale rossa. Ad esempio se a partire da
8·8 = 64, posta sulla diagonale principale, ci spostiamo di quattro diagonali incrociamo la casella 48, risultato del prodotto 12·4; quindi questo può ottenersi anche così:

12·4 = (12 - 4)·(4 + 4) - 4² = 8·8 - 16 = 64 - 16 = 48

Dalla tavola pitagorica si possono ricavare anche i numeri triangolari: basta sommare i prodotti contenuti nei quadratini che si trovano ancora una volta lungo la diagonale principale. Partiamo dal prodotto 1·1 = 1, che il primo numero triangolare; sommando questo uno con il numero due, contenuto nel quadratino alla sua destra e relativo al prodotto 1·2, si ottiene il secondo numero triangolare, cioè tre; aggiungendo il quadratino sotto tale due, contenente il numero quattro relativo a 2², si trova il terzo numero triangolare: 2 + 4 = 6; addizionando il quattro con il sei, posto alla sua destra, si trova il dieci, ovvero il quarto numero triangolare; ancora:

6 + 9 = 15
9 + 12 = 21
12 + 16 = 28
........................

La serie continua, quindi, con la disposizione dei numeri colorati in azzurro lungo la diagonale dei quadrati nella tabella pitagorica.

La tabella di moltiplicazione offre anche diverse occasioni per individuare regolarità e ritmi. Ricercando, infatti, i multipli di numeri diversi, e colorandoli opportunamente, prendono forma configurazioni geometriche molto suggestive e regolari, che stimolano la nostra curiosità in quanto una volta riconosciuti la disposizione geometrica formata dai diversi colori ottenuti è possibile prevedere altre caselle del medesimo colore, ovvero altri multipli, ampliando la stessa configurazione in orizzontale e verticale. Nelle immagini che seguono abbiamo riportato le varie configurazioni ottenute in questo modo, dai multipli di due a quelli di 12.

Multipli di due

Multipli di tre

Multipli di quattro

Multipli di cinque

Multipli di sei

Multipli di sette

Multipli di otto

Multipli di nove

Multipli di dieci

Multipli di 11

Multipli di 12

Si noti come, ad esempio, i multipli di 12 costituiscono un sottoinsieme dei multipli di quattro e di sei, a loro volta sottoinsiemi dei multipli di due (i multipli di sei costituiscono anche un sottoinsieme dei multipli di tre):

Ha senso riportare anche le diverse configurazioni geometriche colorate come quelle appena viste per evidenziare nella tavola pitagorica i vari numeri figurati e notare come questi si distribuiscono tutti con una certa uniformità rispetto alla solita diagonale principale. In particolare colorando le caselle che contengono uno stesso prodotto e scrivendo la moltiplicazione in tutti i modi che la tabella suggerisce, si possono affrontare anche le questioni inerenti ai numeri primi e la scomposizione di un numero naturale in fattori primi. Per esempio consideriamo il prodotto 40 notiamo che le moltiplicazioni presenti in tabella sono:

5·8 = 8·5 = 4·10 = 10·4 = 40

Ramificando ulteriormente i vari fattori si possono scomporre le singole moltiplicazioni e si continua eventualmente ancora con questa procedura fino ad ottenere i numeri primi:

40 = 5·2·4 = 5·2·2·2 = 2³·5
40 = 4·10 = (2·2)·(2·5) = 2³·5

Questa doppia procedura per la determinazione dei fattori primi differisce solo per l’ordine con cui sono stati trovati i numeri primi, che però sono gli stessi in ogni schema; dato che per la moltiplicazione vale la proprietà commutativa le scomposizioni ottenute devono risultare sempre uguali.

Aiutandoci sempre coi colori vediamo ora come è possibile ricavare tutti i numeri cubici a partire dalla tavola pitagorica:

1 = 1³

2 + 2 + 4 = 8 = 2³

3 + 6 + 9 + 6 + 3 = 27 = 3³

4 + 8 + 12 + 16 + 12 + 8 + 4 = 64 = 4³

5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 = 125 = 5³

.......................................................................................

Sommando invece le diagonali da sud-ovest a nord-est della tabellina, si trovano tutti i numeri tetraedrici:

1
2 + 2 = 4
3 + 4 + 3 = 10
4 + 6 + 6 + 4 = 20
5 + 8 + 9 + 8 + 5 = 35
6 + 10 + 12 + 12 + 10 + 6 = 56
7 + 12 + 15 + 16 + 15 + 12 + 7 = 84
.....................................................................

Poiché la tavola è simmetrica, i numeri tetraedrici risultano pari, eccetto che i quadrati lungo la diagonale che sono alternativamente dispari e pari. Per questo motivo, un numero tetraedrico su quattro, cominciando dal primo, risulta dispari.

Osserviamo ora che il prodotto di due numeri che si trovano all’estremità di una diagonale di un rettangolo qualsiasi ricavato nella tabellina, è uguale a quello dei due numeri dell’altra diagonale dello stesso rettangolo. Per fare un esempio su questa proprietà osserviamo il rettangolo rosso riportato qui sotto:

e notiamo che effettivamente il prodotto dei numeri con sfondo giallo è uguale a quello dei numeri con sfondo verde, cioè:

24·30 = 20·36 = 720

infatti, scomponendo i singoli numeri in fattori primi risulta:

(2³·3)·(2·3·5) = (2²·5)·(2²·3²) = 24·3²·5 = 720

e quindi in pratica le due moltiplicazioni hanno gli stessi fattori, anche se non nello stesso ordine, e per la proprietà commutativa devono avere lo stesso risultato. Lo stesso si riscontra anche per rettangoli più grandi compresi i quadrati. In particolare per questi possiamo dire anche che se moltiplichiamo tutte le cifre al loro interno, si ottengono dei numeri quadrati. Considerando, infatti, i numeri evidenziati in viola il loro prodotto dà:

6·8·9·12 = 5·184 = 72²

La tabella pitagorica può pertanto essere utilizzata anche per eseguire moltiplicazioni diverse: per esempio, con la matrice quadrata di ordine due il quadrato contenente il prodotto 120, si trova all’incrocio della riga 2-3 con la colonna 4-5; è come se si eseguisse la moltiplicazione sei (cioè 2·3) per 20 (cioè 4·5), quindi 120.

Esaminiamo a questo punto alcune particolarità delle tavole pitagoriche incomplete partendo proprio dalla tabellina moltiplicativa dei numeri pari e da quella dei numeri dispari che qui sotto riassumiamo:

Notiamo innanzitutto la solita simmetria rispetto alla diagonale principale che parte dal segno di moltiplicazione; inoltre si possono scoprire anche diverse regolarità e individuare molte progressioni aritmetiche che abbiamo evidenziato sempre con colori. Solo a titolo di esempio riportiamo particolareggiata qui sotto la progressione aritmetica di ragione otto riscontrabile nella tabellina moltiplicativa dei numeri dispari, ma qualcosa di analogo è rilevabile anche in quella dei numeri pari:

Visto sotto quest’ottica continuare le progressioni aritmetiche, e quindi le due tabelline, risulta cosa alquanto più semplice del previsto in quanto si evitano di eseguire materialmente diverse moltiplicazioni.

Se ora nella tabellina del due, coloriamo in rosso un numero sì ed uno no, ricaviamo la tabellina del quattro:

0 - 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 16 - 18 - 20 - 22 - 24 - ...

e se sommiamo i numeri non colorati, ecco la tabellina dell’otto:

2 + 6 = 8
6 + 10 = 16
10 + 14 = 24
14 + 18 = 32
18 + 22 = 40
....................

Se poi sempre alla tabellina del due togliamo tutte le decine restano solo le cifre pari che si ripetono sempre secondo quest’ordine:

0 - 2 - 4 - 6 - 8 - 0 - ...

Se invece alla tabellina del tre togliamo tutte le decine restano tutte le dieci cifre che pure, però, si ripetono sempre secondo quest’altro ordine:

0 - 3 - 6 - 9 - 2 - 5 - 8 - 1 - 4 - 7 - 0 - ...

Escludendo lo zero e riscrivendo ordinatamente le restanti cifre in una matrice 3·3 si verifica una curiosa regolarità: sommando i numeri che si trovano lungo gli assi di simmetria del quadrato, si ottiene la stessa somma, che è 15:

Insomma non è proprio un quadrato magico in quanto lungo i lati dello stesso si ottiene una somma diversa, ma si avvicina molto ad esso! Se nella tabellina del quattro, coloriamo in rosso un numero sì ed uno no:

0 - 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - 24 - 28 - 32 - 36 - 40 - 44 - 48 - ...

e sommiamo i numeri non colorati otteniamo i numeri pari al quadrato:

4 + 12 = 16 = 4²
4 + 12 + 20 = 36 = 6²
4 + 12 + 20 + 28 = 64 = 8²
4 + 12 + 20 + 28 + 36 = 100 = 10²
4 + 12 + 20 + 28 + 36 + 44 = 144 = 12²
.........................................................................

Se poi sempre alla tabellina del quattro togliamo tutte le decine restano ancora una volta solo le cifre pari che si ripetono stavolta sempre secondo quest’altro ordine:

0 - 4 - 8 - 2 - 6 - 0 - ...

Se nella tabellina del cinque togliamo tutte le decine si alternano le cifre zero e cinque. Per moltiplicare un numero per cinque si può moltiplicare la metà dello stesso numero per dieci: ad esempio volendo ottenere 5·8 basta calcolare la metà di otto, che è quattro, e poi moltiplicarlo per dieci ottendo 40:

5·8 = 10·4 = 40

Se dalla tabellina del sei togliamo tutte le decine restano ancora una volta solo le cifre pari che si ripetono stavolta sempre secondo quest’altro ordine:

0 - 6 - 2 - 8 - 4 - 0 - ...

che è inverso a quella delle unità della tabellina del quattro! Un ulteriore modo semplice per ricordare la tabellina del sei è il seguente: tutte le volte che a sei moltiplichiamo un numero pari il risultato ha la stessa unità del fattore a cui è stato associato. Infatti, 6·0 = 0, 6·2 = 12, 6·4 = 24, 6·6 = 36, 6·8 = 48 ... formando una specie di scioglilingua che aiuta molto i bambini alle prime armi. Se poi alla tabellina del sei si somma la tabellina del cinque si ottiene la tabellina dell’undici:

0 - 6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36 - 42 - 48 - 54 - 60 - 66 - 72 ... + 0 - 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - 30 - 35 - 40 - 45 - 50 - 55 - 60 ... = ----------------------------------------------------------------------- 0 - 11 - 22 - 33 - 44 - 55 - 66 - 77 - 88 - 99 - 110 - 121 - 132 - ...

Notiamo che nella tabellina dell’undici si trovano molti dei numeri palindromi. Se dalla tabellina del sette togliamo tutte le decine restano tutte le dieci cifre che pure, però, si ripetono sempre secondo quest’altro ordine:

0 - 7 - 4 - 1 - 8 - 5 - 2 - 9 - 6 - 3 - 0 - ...

che è inverso a quella delle unità della tabellina del tre! Un numero è divisibile per sette quando la differenza tra le decine e il doppio delle unità è divisibile per sette oppure è uguale a zero. Si può continuare ad applicare questa regola finché si ottiene un numero di due cifre che è facilmente verificabile. Se dalla tabellina dell’otto togliamo tutte le decine restano ancora una volta solo le cifre pari che si ripetono stavolta sempre secondo quest’altro ordine:

0 - 8 - 6 - 4 - 2 - 0 - ...

che è inverso a quella delle unità della tabellina del due! Se a qualsiasi multiplo di otto si applica una progressione aritmetica di ragione 32 si ottengono altri multipli di otto:

0 - 32 - 64 - 96 - 128 - 160 - ...
8 - 40 - 72 - 104 - 136 - 168 - ...
16 - 48 - 60 - 92 - 124 - 156 - ...
24 - 56 - 88 - 120 - 152 - 184 - ...

Se dalla tabellina del nove togliamo tutte le decine restano tutte le dieci cifre che pure, però, si ripetono sempre secondo l’ordine decrescente:

0 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - 0 - ...

ossia la cifra delle unità è in successione in ordine decrescente e quindi in ordine inverso a quella delle unità della tabellina dell’uno! La cifra delle decine è invece in successione ordinata in ordine crescente:

0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - ...

e quindi stavolta con lo stesso ordine a quella delle unità della tabellina dell’uno! Nei vari prodotti, la somma delle cifre è quindi sempre uguale a nove:

0 + 9 = 9
1 + 8 = 9
2 + 7 = 9
3 + 6 = 9
4 + 5 = 9
..............

Escludendo lo zero dalla serie delle unità, o delle decine, e riscrivendo le restanti cifre in una matrice 3·3 in ordine diverso si ottiene un quadrato magico, di ordine tre e chiave 15:

2 | 7 | 6
9 | 5 | 1
4 | 3 | 8

Per moltiplicare un numero per nove, si può moltiplicare il numero scelto per dieci e poi sottrarre il numero stesso. Ad esempio volendo ottenere 7·9 opereremo nel seguente modo:

7·9 = (7·10) - 7 = 70 - 7 = 63

Se dalla tabellina del dieci togliamo tutte le decine resta solamente la cifra zero. Moltiplicare un numero per dieci basta quindi aggiungergli uno zero in coda.

Il decanomio è una tavola geometrica e i prodotti dei numeri da uno a dieci vengono visualizzati tramite aree di rettangoli.

È uno strumento che consente di avviare anche argomenti relativi all’equiestensione e all’area. Inoltre, risalta notevolmente il significato geometrico dei numeri quadrati; i restanti prodotti sono rappresentati da rettangoli. Ad esempio il l prodotto 7·9 viene visualizzato come un rettangolo formato da sette righe e da nove colonne per complessivi 63 quadratini evidenziati in blu. Nel decanomio è evidenziata in verde anche la simmetria rispetto alla diagonale principale e quindi della proprietà commutativa della moltiplicazione nel prodotto 4·10. Col decanomio è possibile però risaltare anche la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: infatti, per trovare ad esempio il prodotto di 6·7, si può estrarre da esso un rettangolo di sei righe e di sette colonne e poi suddividere quest’ultimo in due con un taglio:

Come è facilmente verificabile col suddetto taglio il totale dei quadratini complessivo non è cambiato, in quanto il rettangolo iniziale è stato solamente distribuito in due rettangoli distinti, sempre di sette colonne, ma uno di quattro righe e l’altro di due righe, per cui tale totale si ottiene addizionando i quadretti contenuti nei due nuovi rettangoli:

(4·7) + (2·7) = 6·7 = 42

o meglio, per evidenziare meglio il taglio tra le righe:

6·7 = (4 + 2)·7 = (4·7) + (2·7) = 42

Ovviamente, lo stesso ragionamento vale anche per le colonne. Guardiamo, per finire, una vista tridimensionale di una tabellina pitagorica multibase colorata: