Dagli atti della conferenza CIEAEM 57,  Palermo  27-29, Luglio 2005, sul tema:

I CAMBIAMENTI NELLA SOCIETA’: UNA OPPORTUNITA’  PER L’EDUCAZIONE MATEMATICA

  UNA RICERCA-AZIONE ON LINE PER INTRODURRE I FRATTALI NELL’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA DALLA SCUOLA PRIMARIA ALLA SECONDARIA

Adalberto Codetta Raiteri, OPPI, Milano, adalberto@codetta.it

0-Riassunto

The times they are changin’. Non così l’insegnamento e l’apprendimento della matematica. Forse è una caratteristica della matematica. I numeri arabi hanno impiegato secoli per diffondersi in Europa. La lentezza dei cambiamenti nella matematica che insegniamo a scuola può oggi influenzare l’orientamento scientifico degli studenti? Quali sono i più efficaci metodi per sperimentare e divulgare l’insegnamento di nuovi contenuti matematici? Nella conferenza CIEAEAM 55 abbiamo suggerito l’introduzione dell’insegnamento dei frattali nella scuola primaria e secondaria[1]. L’OPPI, Organizzazione Per la Preparazione Professionale degli insegnanti, ha cercato di sperimentare e divulgare questa proposta con metodi di ricerca-azione on line. La Ricerca Azione, iniziata nel mese di maggio 2004, è terminata nel giugno 2005: ha coinvolto 11 scuole tra primarie e secondarie. Si è svolta completamente a distanza senza incontri in presenza utilizzando una piattaforma e-learning. In una prima valutazione di questa esperienza, si riferisce sulle sperimentazioni di insegnamento-apprendimento dei frattali e si discute l’efficacia e i limiti di un  metodo di ricerca educativa che consentirebbe il coinvolgimento di molti insegnanti, con impiego limitato di risorse.

1-Frattali come e perché

Mandelbrot ha pubblicato “Les objects fractals”[2] nel 1975 e “Fractals, Graphics & Mathematics education”[3] nel 2002. In questi anni la visione della scienza è profondamente cambiata, ma non è così per la scienza come è pensata nelle scuole. La ricerca-azione ha lavorato per superare un’immagine della matematica legata al determinismo cercando di introdurre i concetti di complessità, di caos e di sistema. Ha introdotto metodi di modellizzazione matematica della realtà.  I partecipanti alla ricerca, divisi in gruppi di lavoro dello stesso livello scolastico, hanno usato le risorse disponibili sul WEB, pianificato ed esperimentato in classe itinerari di studio degli oggetti frattali, documentato i risultati delle sperimentazioni, presentato i prodotti fatti dagli studenti.

I frattali necessitano di approcci multidisciplinari, possono essere studiati a differenti livelli scolastici per sviluppare molti argomenti matematici: geometria della natura,autosimilarità,logaritmi, funzioni complesse, funzioni ricorsive. Per esempio, gli studenti possono scoprire l’idea di auto-similarità esplorando direttamente alcuni frattali pubblicati sul WEB, e, schematizzandoli, possono arrivare allo sviluppo di semplici modelli matematici di auto-similarità come la curva di Koch.

Vi sono molte ragioni per usare i frattali come stimolo di studio  e nella scuola primaria e secondaria:

• I modelli frattali che sono usati per studiare molti problemi reali dalla medicina alla cinematografia

• I frattali presentano aspetti estetici che coinvolgono anche l’intelligenza emotiva degli studenti

• la vasta bibliografia pubblicata sul web, specialmente a fini didattici, consente ricerche condotte direttamente dagli studenti

• l’aiuto dei computer permette agli studenti di maneggiare curve e concetti una volta riservati a matematici esperti

• la natura dei frattali fa percepire che anche in matematica “si inventa” piuttosto che “ scoprire”.

È davvero necessario far percorrere agli studenti ogni passo che l’umanità ha fatto per raggiungere certi concetti? Questa ricerca ha assunto, come ipotesi, che non è sempre necessario. Ha verificato che è possibile far sì che gli insegnanti programmino percorsi praticabili per presentare almeno alcuni aspetti di scienza corrente, anche agli studenti più giovani. Questi percorsi suggeriscono che è possibile modificare la situazione attuale in cui la motivazione dei giovani verso gli studi scientifici sta declinando e con essa anche il peso della cultura scientifica nella formazione delle nuove generazioni.

I frattali non sono esplicitamente citati nei programmi scolastici, ma molti argomenti matematici previsti dai programmi permettono la descrizione delle caratteristiche degli oggetti frattali. La ricerca ha identificato percorsi didattici che permettono agli studenti di esplorare queste caratteristiche legandole a concetti matematici presenti nei  programmi scolastici.

2-Definizione di ricerca-azione on line

Accettiamo la seguente definizione di ricerca-azione ": ricerca-azione può essere descritta come una famiglia di metodologie di ricerca che perseguono  il cambiamento e la comprensione allo stesso tempo. Nella maggioranza delle sue forme, fa ciò usando un processo ciclico o a spirale che oscilla tra azione e riflessione critica e negli ultimi cicli, rifinitura continua di metodi, dati e interpretazione alla luce della comprensione sviluppata nei cicli precedenti. È quindi un processo emergente che prende forma mentre la comprensione cresce, ed è un processo iterativo che converge verso una miglior comprensione di ciò che accade. Nella maggioranza delle sue forme, è anche partecipativo  (tra le altre ragioni, un cambiamento è di solito più facile da comprendere quando coloro che sono affetti dal cambiamento sono coinvolti) e qualitativo .”[4] La ricerca-azione può avere una varietà di tipologie. Abbiamo cercato di organizzare una ricerca pilota: “La ricerca pilota tende ad esplorare un ambito predefinito in funzione di uno status acquisito della ricerca, in un dominio in cui si cominciano ad intravedere dimensioni interessanti ma in cui non sono state ancora messe a punto strategie, guidelines ecc.., o si avverte la necessità di mettere in evidenza dimensioni o ipotesi più specifiche. Esiste dunque un focus dell'indagine, un certo numero di vincoli (in funzione di tipologie già definite) ma rimangono anche spazi autonomi di esplorazione per gli attori. Da questa ricerca si tende soprattutto a ricavare tipologie o repertori operativi trasferibili ad altre situazioni”[5].

3-Il clima della ricerca

I partecipanti alla ricerca vivono in più regioni d’Italia. Non sono stati previsti incontri a faccia a faccia. Ciò significa che i partecipanti non hanno fatto uso della grande ricchezza di informazioni che deriva dal contesto, dalla gestualità, dal tono di voce, dalla mimica. Il contesto in cui ciascuno ha partecipato alla ricerca è stato costruito con una piattaforma e-learning.

Siamo sempre più oppressi da una vita frenetica. Il potenziale di accesso ad internet aumenta l’ansia di partecipazione, di presenza, di estensione della conoscenza. Gli insegnanti, non avendo una netta separazione tra il lavoro e le ore personali, sono particolarmente esposti alla pressione globale della rete, e al conflitto con la …vita reale di figli, coniugi, amici.

Internet non fa imparare più in fretta. L’eccessivo carico di sorgenti d’informazione, di link, di gente coinvolta richiede che si abbia consapevolezza delle operazioni metacognitive necessarie per costruire apprendimenti personali stabili e ben organizzati. L’insegnamento-apprendimento a distanza, on line, richiede distacco, calma, serenità, riflessione. Ciò riguarda gli studenti, e gli adulti. Ciononostante, le piattaforme di e-learning presentano i vantaggi dell’insegnamento asincrono: non c’è la necessità di essere fisicamente presenti a incontri  sacrificando impegni personali e professionali, e si può scegliere il momento migliore per dedicarsi alla ricerca-azione, al confronto con i colleghi, alla riflessione e allo studio col solo scopo di una crescita personale e professionale.

4-Cronaca della ricerca-azione

La ricerca on line è iniziata il 21 maggio 2004 a seguito di brevi comunicazioni sul web in cui si invitava a prender parte ad una ricerca sui frattali; 74 insegnanti hanno mostrato interesse. Ognuno ha ricevuto un codice personale per accedere alla piattaforma on line.

Su questa piattaforma gli insegnanti hanno trovato il documento base per la ricerca, un possibile modello di lavoro, numerosi links a siti dedicati all’insegnamento dei frattali, e l’opportunità di confrontarsi per mezzo di forum condividendo archivi di documenti.

Il documento base chiedeva ai partecipanti di presentare un progetto riferito su un modello condiviso, di sperimentarlo in classe e di presentare i risultati ottenuti. Il coordinatore della ricerca si assumeva la responsabilità di certificare il lavoro fatto e di dare assistenza. Il tutto sempre attraverso lavoro a distanza. La proposta è stata accettata soltanto da un limitato numero di insegnanti che hanno presentato un progetto; 23 insegnanti sono stati iscritti alla ricerca dai loro Dirigenti Scolastici e hanno presentato 15 progetti (1 nella scuola primaria, 6 nella secondaria di primo grado, 3 nel biennio della secondaria di secondo grado, 5 nel triennio). In alcuni progetti partecipano più insegnanti della stesso consiglio di classe.

Dalla analisi dei progetti e delle relazioni finali di ciascuna sperimentazione emergono due tipi di prodotti:

• Prodotti realizzati dagli insegnanti per gli studenti

• Prodotti realizzati  dagli studenti durante o alla fine dell’itinerario di studio dei frattali.

  Per consentire una interpretazione condivisa, al termine dell’itinerario di studio sui frattali, gli insegnanti hanno avuto l’opportunità di somministrare a ogni studente coinvolto un questionario messo a disposizione sulla piattaforma di lavoro. Il questionario era focalizzato su una domanda:  “cosa è, per te, un frattale?”[6]

Per ogni progetto, gli insegnanti hanno prodotto una relazione conclusiva e allegato ad essa i materiali realizzati da loro stessi, dagli studenti e alcuni questionari esemplificativi. Questi materiali compongono la documentazione con cui si è descritta e valutata la ricerca.

5-Uno strumento di analisi

Al fine di confrontare le strategie degli insegnanti, è stato chiesto loro di adottare lo stesso stile di documentazione. Siamo così in grado di trasferire molte frasi-chiave che descrivono ciascuna sperimentazione in una tabella di comparazione.

Questa tavola è organizzata per età al fine di favorire il riconoscimento delle tendenze comuni emergenti da ciascuna sperimentazione.

5.1 Sperimentazioni nella scuola primaria e secondaria di primo grado

Dalla tabella emerge una gran varietà di argomenti matematici connessi con i frattali. Gli insegnanti coi loro studenti hanno esplorato questa varietà di significati e una accurata analisi  mostra che nell’età 9-11 il focus è sulle trasformazioni geometriche, mentre dai 12-14 esso si sposta sui processi iterativi.

5.2    Sperimentazione nella scuola secondaria di secondo grado

I docenti hanno adattato gli argomenti connessi con i frattali agli scopi delle  istituzioni scolastiche di appartenenza. I frattali possono essere adattati

con facilità a coprire una gran varietà di competenze, come si vede confrontando le esperienze  in scuole tecniche, scientifiche, artistiche

professionali. Gli insegnanti, lavorando con gli studenti dai 14 ai 19 anni, hanno gradualmente spostato il centro di attenzione dalle trasformazioni

geometriche e dai processi iterativi, alla loro implementazioni in linguaggi di programmazione. Inoltre sono stati presi in considerazione gli aspetti

culturali e scientifici dei frattali. L’altissimo numero di siti WEB, che propongono approcci differenti e creativi allo studio dei frattali, ha suggerito ai

docenti di unire lo studio dei frattali con riflessioni sui metodi di ricerca sul WEB.

6-Conclusioni

Gli insegnanti hanno prodotto una grande varietà di materiali didattici sui frattali: lezioni, guide, problemi, mappe concettuali, questionari, software

didattici, test,…perfino poesie! Anche gli studenti hanno contribuito a questa abbondanza: disegni a mano libera, al computer, costruzioni

geometriche, articoli, ipertesti, programmi per computer, siti web, sitografie,… Questi materiali, a causa della loro ricchezza e complessità, non sono

stati ancora completamente esaminati e classificati. Una analisi più approfondita potrebbe dare molte indicazioni  per l’introduzione dei frattali a ogni

livello di scuola e per la progettazione di corsi di formazione per docenti. Al livello attuale, questa ricerca on-line può formulare le seguenti indicazioni:

• I frattali possono essere studiati ad ogni livello scolastico

• I frattali offrono molte opportunità di fare “buona matematica”

•  I modelli matematici dei frattali piacciono agli studenti e spingono alcuni di loro ad approfondire argomenti matematici

• I frattali possono essere studiati con approcci euristici a partire da problemi reali

• I frattali danno agli insegnanti di matematica un ruolo importante nelle attività interdisciplinari che sono sempre più richieste dal sistema scolastico

•  Lo studio dei frattali necessita di interazione WEB e di lavoro di gruppo. In questo modo lo studio dei frattali stimola comportamenti che aiutano la ricerca attiva sia nei docenti che negli studenti

• I frattali possono essere studiati all’interno degli ordinari programmi di matematica: trasformazioni geometriche, sequenze infinite, serie infinite, funzioni ricorsive, logaritmi, numeri complessi, probabilità…

Questa ricerca si è svolta completamente on line. Gli insegnanti elencati nel paragrafo seguente hanno lavorato insieme per oltre un anno senza incontrarsi. È stato un ambiente di lavoro nuovo per una gran parte dei docenti coinvolti. Le difficoltà di questo inedito contesto sono state superate in modo soddisfacente: la quasi totalità dei docenti, che ha aderito alla proposta, ha progettato e posto in atto una sperimentazione personale, ma coerente con gli indirizzi generali. Dalle tabelle descrittive delle sperimentazioni emergono infatti significative continuità tematiche maturate spontaneamente nell’interazione del lavoro a distanza. Va tuttavia riconosciuto che il livello di partecipazione, di interazione, di scambio dei materiali è stato disomogeneo. Ciò da un lato costituisce un limite “fisiologico” che si manifesta anche nei gruppi di lavoro in presenza, dall’altro un punto d’attenzione per le responsabilità del coordinatore al quale compete una specifica responsabilità tutoriale: lo scambio di esperienze professionali, a distanza, in forma scritta, è molto più impegnativa che in presenza e in forma orale. La presentazione di ipotesi, proposte, materiali è una operazione che attiva nei partecipanti comprensibili preoccupazioni su come esse verranno accolte, discusse, interpretate da persone che non si conoscono. La presenza di funzioni tutoriali in questo tipo di attività va pertanto adeguatamente definita e rinforzata. 

I risultati di questa ricerca mostrano che un lavoro cooperativo supportato da piattaforme e-learning apre interessanti opportunità per sviluppare i ruoli professionali dei docenti. Primo Brandi e Anna Salvatori, “Progetto Innovamatica” Università di Perugia, Dipartimento Matematica e Informatica, hanno supportato la ricerca dando assistenza e consigli, essi hanno inoltre partecipato al comitato scientifico  con Stefania Marangoni, Renza Cambini e Laura Lotti. Il coordinatore  li ringrazia, e ringrazia tutti gli insegnanti e i dirigenti delle scuole partecipanti. Ringrazia in particolare Doriano Azzera, manager della piattaforma Claroline che ha ospitato la ricerca nell’open campus dell’IPSIA “Castigliano” di Asti.

7-Insegnanti e classi partecipanti

8-Sitografia

Michael Frame, Benoit Mandelbrot, and Nial Neger, Yale University, Fractal Geometry; http://classes.yale.edu/Fractals/

Pattern Exploration: Integrating Math and Science for the Middle School;

http://www.math.fau.edu/Teacher/Teacher_homepage.htm

Cynthia Lanius, A Fractals Unit for Elementary and Middle School Students, Rice University; http://math.rice.edu/~lanius/frac/index.html

Patterns in nature; Centre in polymer studies; http://polymer.bu.edu/ogaf/index.html

Laura Lotti; http://www.frattali.it/

Giorgio Pietrocola: http://www.maecla.it/tartapelago.htm

9-Software

Fractint; http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html

Tierazon; http://home.houston.rr.com/fergusonsc/Tierazon-v29/

Flarium 24; http://ktaza.com/fractal/

Fractal Explorer; http://www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/