From: Subject: Tavola pitagorica Date: Mon, 10 Jul 2006 10:02:49 +0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; boundary="----=_NextPart_000_0000_01C6A407.FFEBAF00"; type="text/html" X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1441 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0000_01C6A407.FFEBAF00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Content-Location: file://C:\WINDOWS\Desktop\DINO\Tavola%20pitagorica.htm Tavola = pitagorica

 

Rosaria, il babbo e le = tabelline
di = Maria Giovanna=20 Melis

Rosaria ha frequentato, nell'a.s. 2005/2006, la classe = seconda=20 primaria. =C8 stata alle prese con le tabelline che - davvero - non sono = molto=20 amate dai bambini! Eleonora, un'altra bambina, piangeva quando le = studiava e=20 affermava, indispettita, " Non riesco proprio a capire perch=E9 le = chiamino=20 Ta-belline. Sarebbe pi=F9 corretto chiamarle=20 Ta-bruttine."
Rosaria come Eleonora?
Il babbo  = sa che=20 occorre suscitare curiosit=E0 per far 'innamorare' Rosaria. Forse, ha = trasformato=20 la tabella della moltiplicazione in un'isola ricca di tesori e ha = guidato=20 Rosaria in un viaggio di scoperta stimolante e creativo, alla ricerca di = soluzioni possibili.:-)
Ringrazio moltissimo Dino=20 Liberatore per aver voluto arricchire con i suoi = approfondimenti e le=20 ulteriori scoperte il lavoro sulla tabella. Le sue chiare osservazioni = mi sono=20 servite anche con i piccoli di seconda, ai quali ho raccontato di = Rosaria e del=20 babbo.
Rosaria e il babbo sono diventati nostri=20 amici.
Grazie!

Tavola = pitagorica
di = Dino=20 Liberatore

Tutti noi conosciamo la tabella pitagorica e il suo = utilizzo=20 nella matematica. L=92abbiamo studiata sin dalle scuole elementari, ma = pochi sanno=20 che essa porta ancora oggi questo nome per errore: le tavolette = quadrangolari=20 usate dai romani per calcolare gli abachi portavano delle scalanature = entro le=20 quali venivano disposte o le pietruzze, dette calculi, o i dischetti = metallici=20 usati per fare i conti; sopra le scalanature figuravano i simboli, = chiamati=20 apici, che indicavano il valore della colonna, simboli che la tradizione = medioevale fa risalire a Pitagora e ai pitagorici. Nelle scuole = claustrali=20 medievali gli abachi vennero pertanto chiamati mense o tavole = pitagoriche ed =E8=20 con quest=92ultimo nome che l=92immagine di un abaco apparve nel De=20 Geometria, manoscritto del 500 dopo Cristo attribuito a Boezio. Nel = copiare=20 questo manoscritto un monaco amanuense commise per=F2 l=92errore di = scambiare la=20 figura dell=92abaco con quella di una tavola di moltiplicazione per cui, = da=20 allora, il nome di tavola pitagorica viene attribuito alla tabella dei = prodotti=20 dei numeri naturali. Nel Medioevo il moltiplicare si diceva facere e il = prodotto=20 factum, da cui i factores. Il segno =93=B4=94 ebbe=20 origine dalla disposizione dell=92operazione a crocetta, cos=EC come era = uso operare=20 Leonardo Pisano nel suo Liber Abaci (1202). Oggigiorno il segno = di=20 moltiplicazione =E8 stato sostituito dal simbolo puntino, =93=B7=94, = pi=F9 comodo.

Ma rivediamola questa famigerata tabellina pitagorica = nella=20 quale notiamo subito che i prodotti nelle righe e nelle colonne uno, = tre,=20 cinque, sette, nove ed undici, ovvero in tutte quelle dispari, si = alternano=20 prodotti pari e prodotti dispari; le restanti caselle contengono invece = solo=20 prodotti pari essendoci in essi sempre il fattore due. In altre parole = solo=20 moltiplicando un numero dispari per un numero dispari si ottiene quale = risultato=20 un numero dispari; in tutti gli altri casi (pari per pari e pari per = dispari) si=20 ottiene sempre un numero pari!

=C8 chiaro che i numeri = primi=20 compaiono nella tabella solo nella riga e nella colonna uno. Osserviamo = per=F2 ora=20 una colonna, o una riga, a caso, ad esempio la sette, ma =E8 ovvio che = ci=F2 che=20 stiamo per dire vale per qualsiasi riga o colonna; in questo caso, la = somma del=20 primo con l=92ultimo prodotto =E8 pari ad 84, altrettanto la somma del = secondo con=20 il penultimo, e cos=EC via con tutti gli altri, quindi possiamo = scrivere:

0 + 84 =3D 7 + 77 =3D 14 + 70 =3D 21 + 63 =3D 28 + 56 = =3D 35 + 49 =3D 42 +=20 42 =3D 84

Confrontando poi, per esempio, le righe e le colonne = del=20 quattro e dell=92otto, si osserva una certa regolarit=E0: otto =E8 il = doppio di=20 quattro, quattro =E8 la met=E0 di otto e tutti i prodotti presenti nella = riga=20 dell=92otto sono il doppio dei prodotti presenti nella riga del = quattro:

Nella tabella pitagorica su riportata abbiamo = evidenziato in=20 rosso la diagonale dei quadrati, ovvero di quei numeri che sono = moltiplicati per=20 s=E9 stessi, che parte dal segno di moltiplicazione. Si osservi che la = tabella =E8=20 simmetrica rispetto a tale diagonale, per cui le caselle fra loro = simmetriche=20 hanno lo stesso prodotto. Questo dipende dal fatto che il risultato = della=20 moltiplicazione non cambia se si cambiano di posto i due fattori. = Dunque, la=20 moltiplicazione possiede:

Quando si studiano a scuola le tabelline, viene molto = in aiuto=20 la propriet=E0 commutativa: =E8 sufficiente, infatti, memorizzare solo = un po=92 pi=F9=20 della met=E0 dei prodotti per conoscerli tutti. In tal modo la stessa = risulta=20 quasi dimezzata! Notiamo anche che i numeri che si trovano nelle due = diagonali=20 rosa vicine alla diagonale rossa dei numeri quadrati, sono minori di = un=92unit=E0=20 del numero quadrato. Quindi per calcolare, ad esempio, 9=B77 si potrebbe = anche=20 procedere in questo modo:

9=B77 =3D (9 - 1)=B7(7 + 1) - 1 =3D 8=B78 - 1 =3D 64 - = 1 =3D 63

che anche aiuta a ricordare meglio i valori contenuti = nella=20 tavola pitagorica. I prodotti posti sulle diagonali successive, sempre = parallele=20 a quella principale dei numeri quadrati, differiscono da quelli presenti = su=20 quest=92ultima di una quantit=E0 pari a quante sono le diagonali che la = separano=20 elevate al quadrato; quindi essi possono ottenersi anche conoscendo solo = i=20 quadrati dei numeri posti sulla diagonale rossa. Ad esempio se a partire = da 
8=B78 =3D 64, posta sulla diagonale principale, ci spostiamo = di quattro=20 diagonali incrociamo la casella 48, risultato del prodotto 12=B74; = quindi questo=20 pu=F2 ottenersi anche cos=EC:

12=B74 =3D (12 - 4)=B7(4 + 4) - 4=B2 =3D 8=B78 - 16 = =3D 64 - 16 =3D 48

Dalla tavola pitagorica si possono ricavare anche i = numeri triangolari: basta sommare i prodotti = contenuti=20 nei quadratini che si trovano ancora una volta lungo la diagonale = principale.=20 Partiamo dal prodotto 1=B71 =3D 1, che il primo numero=20 triangolare; sommando questo uno con il numero due, contenuto = nel=20 quadratino alla sua destra e relativo al prodotto 1=B72, si ottiene il = secondo=20 numero triangolare, cio=E8 tre; = aggiungendo il=20 quadratino sotto tale due, contenente il numero quattro relativo a 2=B2, = si trova=20 il terzo numero triangolare: 2 + 4 = =3D 6;=20 addizionando il quattro con il sei, posto alla sua destra, si trova il = dieci,=20 ovvero il quarto numero = triangolare; ancora:

6 + 9 =3D 15
9 + 12 =3D 21
12 + 16 =3D 28=20
........................

La serie continua, quindi, con la disposizione dei = numeri=20 colorati in azzurro lungo la diagonale dei quadrati nella tabella=20 pitagorica.

La tabella di moltiplicazione offre anche diverse = occasioni per=20 individuare regolarit=E0 e ritmi. Ricercando, infatti, i multipli di = numeri=20 diversi, e colorandoli opportunamente, prendono forma configurazioni = geometriche=20 molto suggestive e regolari, che stimolano la nostra curiosit=E0 in = quanto una=20 volta riconosciuti la disposizione geometrica formata dai diversi colori = ottenuti =E8 possibile prevedere altre caselle del medesimo colore, = ovvero altri=20 multipli, ampliando la stessa configurazione in orizzontale e verticale. = Nelle=20 immagini che seguono abbiamo riportato le varie configurazioni ottenute = in=20 questo modo, dai multipli di due a quelli di 12.

 

Moltiplicando per due  

 =
0   4    8   &n= bsp;12   =20 = 16   20   24   28  = ; 32   36   =20 40   44   48

 dividendo per due

=
0   8   16   24 = ;  =20 = 32   40   48   56  = ; 64   72   =20 = 80   88   96


Multipli di due
 


Multipli di tre
 


Multipli di quattro
 


Multipli di cinque
 


Multipli di sei
 


Multipli di sette
 


Multipli di otto
 


Multipli di nove
 


Multipli di dieci
 


Multipli di 11
 


Multipli di=20 12
 

Si noti come, ad esempio, i multipli di 12 = costituiscono un=20 sottoinsieme dei multipli di quattro e di sei, a loro volta sottoinsiemi = dei=20 multipli di due (i multipli di sei costituiscono anche un sottoinsieme = dei=20 multipli di tre):

Ha senso riportare anche le diverse configurazioni = geometriche=20 colorate come quelle appena viste per evidenziare nella tavola = pitagorica i vari=20 numeri figurati e notare come questi = si=20 distribuiscono tutti con una certa uniformit=E0 rispetto alla solita = diagonale=20 principale. In particolare colorando le caselle che contengono uno = stesso=20 prodotto e scrivendo la moltiplicazione in tutti i modi che la tabella=20 suggerisce, si possono affrontare anche le questioni inerenti ai = numeri primi e la scomposizione di un numero = naturale=20 in fattori primi. Per esempio = consideriamo il=20 prodotto 40 notiamo che le moltiplicazioni presenti in tabella sono:

5=B78 =3D 8=B75 =3D 4=B710 =3D 10=B74 =3D 40

Ramificando ulteriormente i vari fattori si possono = scomporre=20 le singole moltiplicazioni e si continua eventualmente ancora con questa = procedura fino ad ottenere i numeri = primi:

40 =3D 5=B72=B74 =3D 5=B72=B72=B72 =3D 2=B3=B75
40 = =3D 4=B710 =3D (2=B72)=B7(2=B75) =3D=20 2=B3=B75

Questa doppia procedura per la determinazione dei = fattori primi differisce solo per l=92ordine con = cui sono=20 stati trovati i numeri primi, che per=F2 sono gli stessi = in ogni=20 schema; dato che per la moltiplicazione vale la propriet=E0 commutativa = le=20 scomposizioni ottenute devono risultare sempre uguali.

Aiutandoci sempre coi colori vediamo ora come =E8 = possibile=20 ricavare tutti i numeri cubici a partire dalla tavola pitagorica:

1 =3D 1=B3

2 + 2 + 4 =3D 8 =3D 2=B3

3 + 6 + 9 + 6 + 3 =3D 27 =3D = 3=B3

4 + 8 + 12 + 16 + 12 + 8 + 4 =3D 64 =3D = 4=B3

5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 = =3D 125 =3D=20 5=B3

=

......................................................................= .................

Sommando invece le diagonali da sud-ovest a nord-est = della=20 tabellina, si trovano tutti i numeri=20 tetraedrici:

=

1
2 + 2 =3D 4
3 + 4 + 3 =3D 10
4 + 6 + 6 + 4 =3D 20
5 + 8 + 9 + 8 + 5 =3D 35
6 + 10 + 12 + 12 + 10 + 6 =3D = 56
7 + 12 + 15 + 16 + 15 + 12 + 7 =3D = 84
.....................................................................=

Poich=E9 la tavola =E8 simmetrica, i numeri=20 tetraedrici risultano pari, eccetto che i quadrati lungo la = diagonale=20 che sono alternativamente dispari e pari. Per questo motivo, un numero tetraedrico su quattro, cominciando = dal primo,=20 risulta dispari.

Osserviamo ora che il prodotto di due numeri che si = trovano=20 all=92estremit=E0 di una diagonale di un rettangolo qualsiasi ricavato = nella=20 tabellina, =E8 uguale a quello dei due numeri dell=92altra diagonale = dello stesso=20 rettangolo. Per fare un esempio su questa propriet=E0 osserviamo il = rettangolo=20 rosso riportato qui sotto:

e notiamo che effettivamente il prodotto dei numeri = con sfondo=20 giallo =E8 uguale a quello dei numeri con sfondo verde, cio=E8:

24=B730 =3D 20=B736 =3D 720

infatti, scomponendo i singoli numeri in fattori primi risulta:

(2=B3=B73)=B7(2=B73=B75) = =3D (2=B2=B75)=B7(2=B2=B73=B2) =3D = 24=B73=B2=B75 =3D 720

e quindi in pratica le due moltiplicazioni hanno gli = stessi=20 fattori, anche se non nello stesso ordine, e per la propriet=E0 = commutativa devono=20 avere lo stesso risultato. Lo stesso si riscontra anche per rettangoli = pi=F9=20 grandi compresi i quadrati. In particolare per questi possiamo dire = anche che se=20 moltiplichiamo tutte le cifre al loro interno, si ottengono dei numeri = quadrati.=20 Considerando, infatti, i numeri evidenziati in viola il loro prodotto = d=E0:

6=B78=B79=B712 =3D = 5=B7184 =3D 72=B2

La tabella pitagorica pu=F2 pertanto essere = utilizzata anche per=20 eseguire moltiplicazioni diverse: per esempio, con la matrice quadrata = di ordine=20 due il quadrato contenente il prodotto 120, si = trova=20 all=92incrocio della riga 2-3 con la colonna = 4-5; =E8 come se si eseguisse la moltiplicazione = sei (cio=E8=20 2=B73) per 20 (cio=E8 4=B75), quindi=20 120.

Esaminiamo a questo punto alcune particolarit=E0 = delle tavole=20 pitagoriche incomplete partendo proprio dalla tabellina moltiplicativa = dei=20 numeri pari e da quella dei numeri dispari che qui sotto = riassumiamo:

Notiamo innanzitutto la solita simmetria rispetto = alla=20 diagonale principale che parte dal segno di moltiplicazione; inoltre si = possono=20 scoprire anche diverse regolarit=E0 e individuare molte progressioni aritmetiche che abbiamo = evidenziato=20 sempre con colori. Solo a titolo di esempio riportiamo particolareggiata = qui=20 sotto la progressione aritmetica di = ragione otto riscontrabile nella tabellina=20 moltiplicativa dei numeri dispari, ma qualcosa di analogo =E8 rilevabile = anche in=20 quella dei numeri pari:

Visto sotto quest=92ottica continuare le progressioni aritmetiche, e quindi le due = tabelline,=20 risulta cosa alquanto pi=F9 semplice del previsto in quanto si evitano = di eseguire=20 materialmente diverse moltiplicazioni.

Se ora nella tabellina del due, coloriamo in rosso un = numero s=EC ed=20 uno no, ricaviamo la tabellina del quattro:

0 - 2 - 4 - 6 -=20 8 - 10 - 12 - 14 - = 16 - 18 - 20 - 22 - 24 - ...

e se sommiamo i numeri non colorati, ecco la tabellina=20 dell=92otto:

2 + 6 =3D 8
6 + 10 =3D 16
10 + 14 =3D 24 =
14 + 18 =3D 32=20
18 + 22 =3D 40
....................

Se poi sempre alla tabellina del due togliamo tutte = le decine=20 restano solo le cifre pari che si ripetono sempre secondo = quest=92ordine:

0 - 2 - 4 - 6 - 8 - 0 - ...

Se invece alla tabellina del tre togliamo tutte le = decine=20 restano tutte le dieci cifre che pure, per=F2, si ripetono sempre = secondo=20 quest=92altro ordine:

0 - 3 - 6 - 9 - 2 - 5 - 8 - 1 - 4 - 7 - 0 - ...

Escludendo lo zero e riscrivendo ordinatamente le = restanti=20 cifre in una matrice 3=B73 si verifica una curiosa regolarit=E0: = sommando i numeri=20 che si trovano lungo gli assi di simmetria del quadrato, si ottiene la = stessa=20 somma, che =E8 15:

Insomma non =E8 proprio un quadrato magico in quanto = lungo i lati=20 dello stesso si ottiene una somma diversa, ma si avvicina molto ad esso! = Se=20 nella tabellina del quattro, coloriamo in rosso un numero s=EC ed uno = no:

0 - 4 - 8 - 12 -=20 16 - 20 - 24 - 28 - = 32 - 36 - 40 - 44 - 48 - ...

e sommiamo i numeri non colorati otteniamo i numeri pari = al=20 quadrato:

4 + 12 =3D 16 =3D 4=B2
4 + 12 + 20 =3D 36 =3D 6=B2 =
4 + 12 + 20 + 28=20 =3D 64 =3D 8=B2
4 + 12 + 20 + 28 + 36 =3D 100 =3D 10=B2
4 + 12 + = 20 + 28 + 36 + 44 =3D=20 144 =3D 12=B2=20
.....................................................................= ....

Se poi sempre alla tabellina del quattro togliamo = tutte le=20 decine restano ancora una volta solo le cifre pari che si ripetono = stavolta=20 sempre secondo quest=92altro ordine:

0 - 4 - 8 - 2 - 6 - 0 - ...

Se nella tabellina del cinque togliamo tutte le = decine si=20 alternano le cifre zero e cinque. Per moltiplicare un numero per cinque = si pu=F2=20 moltiplicare la met=E0 dello stesso numero per dieci: ad esempio volendo = ottenere=20 5=B78 basta calcolare la met=E0 di otto, che =E8 quattro, e poi = moltiplicarlo per=20 dieci ottendo 40:

5=B78 =3D 10=B74 =3D 40

Se dalla tabellina del sei togliamo tutte le decine = restano=20 ancora una volta solo le cifre pari che si ripetono stavolta sempre = secondo=20 quest=92altro ordine:

0 - 6 - 2 - 8 - 4 - 0 - ...

che =E8 inverso a quella delle unit=E0 della = tabellina del quattro!=20 Un ulteriore modo semplice per ricordare la tabellina del sei =E8 il = seguente:=20 tutte le volte che a sei moltiplichiamo un numero pari il risultato ha = la stessa=20 unit=E0 del fattore a cui =E8 stato associato. Infatti, 6=B70 =3D 0, = 6=B72 =3D 12, 6=B74 =3D 24,=20 6=B76 =3D 36, 6=B78 =3D 48 ... formando una specie di scioglilingua che = aiuta molto i=20 bambini alle prime armi. Se poi alla tabellina del sei si somma la = tabellina del=20 cinque si ottiene la tabellina dell=92undici:



0 - 6 - 12 - 18 - 24 - =
30 - 36 -=20
42 - 48 - 54 - 60 - 66 - 72 ... + 0 - 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - 30 - 35 - =
40 - 45=20
- 50 - 55 - 60 ... =3D=20
----------------------------------------------------------------------- =
0 - 11 -=20
22 - 33 - 44 - 55 - 66 - 77 - 88 - 99 - 110 - 121 - 132 - ... =



Notiamo che nella tabellina dell=92undici si trovano =
molti dei=20
numeri palindromi. Se dalla =
tabellina del=20
sette togliamo tutte le decine restano tutte le dieci cifre che pure, =
per=F2, si=20
ripetono sempre secondo quest=92altro ordine:


0 - 7 - 4 - 1 - 8 - 5 - 2 - 9 - 6 - 3 - 0 - ...


che =E8 inverso a quella delle unit=E0 della =
tabellina del tre! Un=20
numero =E8 divisibile per sette =
quando la=20
differenza tra le decine e il doppio delle unit=E0 =E8 divisibile per sette oppure =E8 uguale a =
zero. Si pu=F2=20
continuare ad applicare questa regola finch=E9 si ottiene un numero di =
due cifre=20
che =E8 facilmente verificabile. Se dalla tabellina dell=92otto togliamo =
tutte le=20
decine restano ancora una volta solo le cifre pari che si ripetono =
stavolta=20
sempre secondo quest=92altro ordine:


0 - 8 - 6 - 4 - 2 - 0 - ...


che =E8 inverso a quella delle unit=E0 della =
tabellina del due! Se=20
a qualsiasi multiplo di otto si applica una =
progressione=20
aritmetica di ragione 32 =
si=20
ottengono altri multipli di otto:


0 - 32 - 64 - 96 - 128 - 160 - ... 
8 - 40 - 72 - =
104 - 136 -=20
168 - ... 
16 - 48 - 60 - 92 - 124 - 156 - ... 
24 - 56 - 88 - 120 =
- 152 -=20
184 - ...


Se dalla tabellina del nove togliamo tutte le decine =
restano=20
tutte le dieci cifre che pure, per=F2, si ripetono sempre secondo =
l=92ordine=20
decrescente:


0 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - 0 - ...


ossia la cifra delle unit=E0 =E8 in=20
successione in ordine decrescente e quindi in ordine =
inverso a=20
quella delle unit=E0 della tabellina dell=92uno! La cifra delle decine =
=E8 invece in=20
successione ordinata in ordine =
crescente:


0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - ...


e quindi stavolta con lo stesso ordine a quella delle =
unit=E0=20
della tabellina dell=92uno! Nei vari prodotti, la somma delle cifre =E8 =
quindi=20
sempre uguale a nove:


0 + 9 =3D 9 
1 + 8 =3D 9 
2 + 7 =3D 9 
3 + 6 =
=3D 9 
4 + 5 =3D=20
9 
..............


Escludendo lo zero dalla serie delle unit=E0, o delle =
decine, e=20
riscrivendo le restanti cifre in una matrice 3=B73 in ordine diverso si =
ottiene un=20
quadrato magico, di ordine tre e chiave 15:





  
  

    2 
    7 
    6 =


  

    9 
    5 
    1 =


  

    4 
    3 
    8=20



Per moltiplicare un numero per nove, si pu=F2 =
moltiplicare il=20
numero scelto per dieci e poi sottrarre il numero stesso. Ad esempio =
volendo=20
ottenere 7=B79 opereremo nel seguente modo:


7=B79 =3D (7=B710) - 7 =3D 70 - 7 =3D 63


Se dalla tabellina del dieci togliamo tutte le decine =
resta=20
solamente la cifra zero. Moltiplicare un numero per dieci basta quindi=20
aggiungergli uno zero in coda.


Il decanomio =E8 una tavola geometrica e i =
prodotti dei=20
numeri da uno a dieci vengono visualizzati tramite aree di =
rettangoli.




=C8 uno strumento che consente di avviare anche =
argomenti=20
relativi all=92equiestensione e all=92area. Inoltre, risalta =
notevolmente il=20
significato geometrico dei numeri quadrati; i restanti prodotti sono=20
rappresentati da rettangoli. Ad esempio il l prodotto 7=B79 viene =
visualizzato=20
come un rettangolo formato da sette righe e da nove colonne per =
complessivi 63=20
quadratini evidenziati in blu. Nel decanomio =E8 evidenziata in verde =
anche la=20
simmetria rispetto alla diagonale principale e quindi della propriet=E0=20
commutativa della moltiplicazione nel prodotto 4=B710. Col decanomio =E8 =
possibile=20
per=F2 risaltare anche la propriet=E0 distributiva della moltiplicazione =
rispetto=20
all=92addizione: infatti, per trovare ad esempio il prodotto di 6=B77, =
si pu=F2=20
estrarre da esso un rettangolo di sei righe e di sette colonne e poi =
suddividere=20
quest=92ultimo in due con un taglio:




Come =E8 facilmente verificabile col suddetto taglio =
il totale=20
dei quadratini complessivo non =E8 cambiato, in quanto il rettangolo =
iniziale =E8=20
stato solamente distribuito in due rettangoli distinti, sempre di sette =
colonne,=20
ma uno di quattro righe e l=92altro di due righe, per cui tale totale si =
ottiene=20
addizionando i quadretti contenuti nei due nuovi rettangoli:


(4=B77) + (2=B77) =3D 6=B77 =3D 42


o meglio, per evidenziare meglio il taglio tra le =
righe:


6=B77 =3D (4 + 2)=B77 =3D (4=B77) + (2=B77) =3D 42


Ovviamente, lo stesso ragionamento vale anche per le =
colonne.=20
Guardiamo, per finire, una vista tridimensionale di una tabellina =
pitagorica=20
multibase colorata:




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AgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMCAwIDAg4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIDDg4O
AwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMCAw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4O
AgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4PDw8AAA8PDw4ODgMCAwID
AgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMCAw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMC
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Dw4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMCAwIDAg4ODgIDAgMCAwIDAgMC
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Dg4OAwIDAgMCAwIDDg4ODg4DAgMCAwIDAgMODg4ODg4CAwIDAgMCAwIODg4ODgIDAgMCAwIDAg4O
Dg4OAgMCAwIDAgMCDg4ODgMCAwIDAgMCAw4ODg4PDw8AAA8PDw4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8AAA8PDw4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8AAA8PDw8O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4P
Dw8AAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8ODg4OAwIDAgMCAwIDDg4ODg8PDw8PDw8PDw8PDw4ODgMCAwID
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Dw8PDw8ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8AAA8P
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
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Dg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4PDw8AAA8PDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMCAw4ODgMC
AwIDAgMCAwIDAg4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMCAwIDAg4ODgID
AgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMCAw4ODgMC
AwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4PDw8AAA8PDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMC
AwIDAg4ODgIDAgMCAwIDAgMCAw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwID
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8AAA8PDw4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8AAA8PDw8ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8AAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8ODg4O
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Dg8PDw8PDw8PDw8PDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4PDw8PDw8PDw8PDw8ODg4CAwIDAgMCAwIDAg4O
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AwIDAgMCAw4ODg8PDw8PDw8PDw8PDw4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4ODw8PDw8PDw8PDw8ODg4CAwID
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Dw8PDw4ODgMCAwIDAgIDAgMODg4PDw8AAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4OAgMCAwIDAgMCAwIO
Dg4PDw8PDw8PDw8PDw4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDg4OAwIDAgMCAwIDAgMO
Dg4PDw8PDw8PDw8PDw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4ODw8PDw8PDw8PDw8ODg4DAgMCAwIDAgMCAwIO
Dg4PDw8PDw8PDw8PDw4ODgIDAgMCAwMCAwIODg4PDw8AAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4OAwID
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8AAA8PDw4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8A
AA8PDw4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
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AwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMCAw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4D
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AwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMCAwIDAg4ODgID
AgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMCDg4OAgMC
AwIDAgIDAgMODg4PDw8AAA8PDw4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMC
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4P
Dw8AAA8PDw4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4PDw8AAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4CAwIDAgMCAw4ODg4PDw8PDw8PDw8P
Dw4ODg4OAgMCAwIDAgMODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8PDw8PDw8P
Dw4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8PDw8PDw8P
Dw4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8AAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4P
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AwIDDg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4PDw8PDw8PDw8PDw4ODgIDAgMCAwID
AgMCDg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4PDw8PDw8PDw8PDw4ODgMCAwIDAgID
AgMODg4PDw8AAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4PDw8PDw8PDw8PDw4O
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AwIODg4PDw8PDw8PDw8PDw4ODgIDAgMCAwMCAwIODg4PDw8AAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4O
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AwMCAwIODg4PDw8AAA8PDw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMC
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AwIDAgMCAwIDAg4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4D
AgMCAwIDAgMCAw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4C
AwIDAgMCAwIDAg4ODgIDAgMCAwMCAwIODg4PDw8AAA8PDw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMC
AwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMCAw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwID
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AwIDAgMCAwIDDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMCAw4ODgMCAwIDAgIDAgMODg4PDw8A
AA8PDw4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4ODgMCAwIDAgMCAwIODg4OAwIDAgMCAwIDAg4ODg4DAgMCAwID
AgMCDg4ODgMCAwIDAgMCAwIODg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4DAgMCAwIDAgMCAw4ODgMCAwIDAgMC
AwIDDg4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4CAwIDAgMCAwIDAg4ODgIDAgMCAwMC
AwIODg4PDw8AAA8PDw4ODg4CAwIDAgMCAwIODg4ODg4DAgMCAwIDAg4ODg4ODgMCAwIDAgMCDg4O
Dg4OAwIDAgMCAwIODg4ODgIDAgMCAwIDAgMODg4ODgMCAwIDAgMCAw4ODg4OAwIDAgMCAwIDDg4O
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
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Dw8PDw8PDw8ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8PDw8PDw8PDw4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODw8P
Dw8PDw8PDw8ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8P
Dw8PDw8PDw8ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDwAA
AA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg8PDw8PDw8PDw8PDw4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4PDw8PDw8PDw8PDw8ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4PDwAAAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw4O
DgIDAgMCAwIDAgMCDg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4O
AgMCAwIDAgMCAwIODg4PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4O
AwIDAgMCAwIDAgMODg4PDwAAAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8P
Dw8PDw8PDw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8P
Dw8PDw8PDg4OAwIDAgMCAwIDAgMODg4PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8P
Dw8PDw8PDg4OAgMCAwIDAgMCAwIODg4PDwAAAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8P
Dw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8P
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDwAAAA8PDw4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDwAAAA8PDg4O
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4P
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4PDwAAAA8PDw4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4PDwAAAA8PDw8ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDwAAAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8P
Dw8PDw8PDw8PDw8PDw4ODgMCAwIDAgMCAwIODg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8P
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Dw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw4ODgIDAgMCAwIDAgMCDg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8P
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Dw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw4ODgMCAwIDAgMCAwIDDg4ODw8PDw8PDw8P
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DwAAAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw4ODgMCAwID
AgMCAwIDDg4ODw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4OAwIDAgMC
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4O
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Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8PDw8PDw8PDw4ODg4ODg4O
Dg4ODg4ODg4ODw8AAA8PDw8PDw8PDw8PDw8PDw8PDg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4OAgECAQIBAgEC
Dg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODw8PDw8PDw8PDw8ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4PDw8PDw8PDw8P
Dw4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg4CAQIBAgECAQIODg4ODg4ODg4ODg4ODg4ODg8PDw8PDw8PDw8P
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