3.1. LA GEOMETRIA DELLA TARTARUGA: UNA MATEMATICA FATTA PER APPRENDERE

La geometria della Tartaruga è uno stile di geometria diverso dagli altri, come lo stile assiomatico d'Euclide e lo stile analitico di Cartesio erano anch'essi differenti l'uno dall'altro. Lo stile d'Euclide è logico, quello di Cartesio è algebrico. Lo stile della geometria della Tartaruga è informatico.

Euclide elaborò la sua geometria partendo da un insieme di concetti fondamentali, uno dei quali è il punto. Un punto può definirsi come un'entità che ha una posizione, ma non ha nessun'altra proprietà: non ha colore, né dimensione, né forma. Chiunque non sia mai stato iniziato alla matematica formale (si potrebbe dire che non sia stato ancora matematizzato), spesso trova questa nozione difficile da afferrare, per non dire bizzarra. E' difficile correlarla con qualsiasi altra cosa che si conosca. Anche la geometria della Tartaruga ha un'entità fondamentale simile al punto d'Euclide. Ma quest'entità che io chiamo "Tartaruga", può essere messa in relazione con altre cose già note, perché contrariamente al punto di Euclide essa non è così totalmente sprovvista di proprietà, ed invece di essere statica, è dinamica. Oltre alla sua posizione, la Tartaruga possiede un'altra importante proprietà: ha l'orientamento. Un punto euclideo è situato in un luogo -ha una posizione, e questo è tutto quello che se ne può dire. Una Tartaruga è in qualche luogo, anch'essa ha una posizione, ma in più guarda in una certa direzione, ha un orientamento. In questo senso, la Tartaruga è paragonabile a un essere umano (io sono qui e guardo verso nord) o a un

animale o a una barca. Da queste similitudini deriva la speciale capacità della Tartaruga di servire al bambino come primo esempio tipico di matematica formale. I bambini possono identificarsi con la Tartaruga e ricorrere quindi alla conoscenza che hanno del loro corpo e del suo movimento nell'affrontare la geometria formale.

Per comprendere come ciò avviene, dobbiamo conoscere ancora un'altra cosa sulle Tartarughe: esse sono capaci di ricevere ordini espressi in LINGUAGGIO TARTARUGA. Il comando AVANTI fa muovere la Tartaruga in linea retta nella direzione verso la quale è orientata (vedi Fig. 3). Per indicarle la distanza da percorrere, AVANTI deve essere seguito da un numero: AVANTI 1 provocherà un piccolo spostamento, AVANTI 100 uno piu ampio. Negli ambienti LOGO, molti bambini sono stati iniziati alla geometria della Tartaruga insegnando loro a manovrare una tartaruga meccanica, un tipo di robot cibernetico che esegue questi ordini quando li si compone su una tastiera da macchina da scrivere. Questa " Tartaruga da pavimento " ha rotelle, una forma a cupola, e una penna che consente di tracciare una linea quando si muove. Ma le sue proprietà essenziali—posizione, orientamento e capacità di obbedire a ordini in LINGUAGGIO TARTARUGA—sono proprio quelle che servono per fare geometria. Il bambino incontrerà in seguito queste stesse tre proprietà in un'altra personificazione della Tartaruga: una " Tartaruga da schermo ". Questa si presenta sotto forma di un oggetto triangolare su uno schermo televisivo. Anch'essa ha una posizione e un orientamento; anch'essa si sposta secondo gli ordini dati in LINGUAGGIO TARTARUGA. Ciascuna delle tartarughe ha i suoi punti forti: quella da pavimento può essere usata come ruspa oltre che come strumento per disegnare, quella da schermo disegna delle linee dai colori luminosi più in fretta di quanto l'occhio possa seguirle. Nessuna delle due è migliore dell'altra, ma il fatto che siano due porta a un'idea potente: due entità fisiche differenti possono essere matematicamente identiche (o "isomorfe").'

Poiché apprendere a controllare la Tartaruga è come apprendere a parlare una lingua, questo esercizio stimola l'abilità e il piacere del bambino nel parlare. E poiché è anche come trovarsi a un posto di comando, stimola la sua abilità e il piacere nel dare ordini. Per far tracciare un quadrato alla Tartaruga dapprima lo percorre lui stesso, descrivendo l'operazione in linguaggio Tartaruga. E cosl, lavorare con la Tartaruga sollecita anche l'abilità e il gusto del bambino per il movimento. Ci si avvale delle conoscenze già solidamente acquisite dal bambino in fatto di "geometria-corporea", come punto di partenza per farlo entrare nella geometria formale .

Le prime esperienze proposte ai bambini in un ambiente d'apprendimento Tartaruga non hanno l'obiettivo di far acquisire regole formali ma di sviluppare la comprensione del modo in cui essi si muovono nello spazio. Questa comprensione è descritta in LINGUAGGIO TARTARUGA e perciò si traduce in "programmi" o "procedure" o " equazioni differenziali " destinati alla Tartaruga. Vediamo più da vicino come un bambino, che ha già appreso a far muovere la Tartaruga in linea retta, per disegnare dei quadrati, dei triangoli e dei rettangoli, possa imparare a programmarla per tracciare un cerchio.

Immaginiamo, dunque, questa scena a cui ho assistito almeno un centinaio di volte. Un bambino domanda: " Come posso farle fare un cerchio? ". In un ambiente LOGO l'istruttore non fornisce risposte a tali domande, piuttosto suggerisce al bambino un metodo per risolvere non soltanto questo problema, ma altri dello stesso tipo. Questo metodo è sintetizzato nella frase "gioca alla Tartaruga; prova a metterti al suo posto". I1 bambino è incoraggiato a spostarsi allo stesso modo in cui deve muoversi la Tartaruga sullo schermo per ottenere il tracciato desiderato. Per il bambino che voleva fare un cerchio, l'operazione si può descrivere come segue: " Per muoversi in cerchio si fa un piccolo passo avanti e ci si gira un poco. E si continua così". Da questa descrizione a un programma Tartaruga formale, c'è solo un passo.

PER CERCHIO RIPETI [AVANTI 1 DESTRA 1]

Un altro bambino, forse meno esperto nei rudimenti della programmazione, o nell'euristica del "gioco della Tartaruga ", potrebbe aver bisogno d'aiuto. Ma l'aiuto non consisterà, ancora una volta, nell'insegnare al bambino come programmare un cerchio Tartaruga, bensì nel proporgli un metodo, una procedura euristica. Questo metodo (che include il consiglio sintetizzato dalla frase " gioca alla Tartaruga ") tende a stabilire una solida connessione tra l'attività personale e la creazione di un sapere formale.

Nella Matelandia della Tartaruga immagini antropomorfiche facilitano il trasferimento di conoscenze da un piano familiare a nuovi contesti. Dovendo indicare, per esempio, quello che di solito è chiamato " la programmazione di un elaboratore ", si userà la metafora " insegnare una parola nuova alla Tartaruga ". Un bambino che vuole disegnare tanti quadrati può insegnare alla Tartaruga a obbedire a un nuovo ordine che le farà eseguire di seguito la serie di sette istruzioni necessarie per ottenere un quadrato (cfr. Fig. 3). Quest'ordine può essere dato all'elaboratore in forme diverse, alcune delle quali sono le seguenti:

Oppure

O ancora

Allo stesso modo si può programmare un triangolo equilatero

PER TRIANGOLO AVANTI 100 DESTRA 120 AVANTI 100 DESTRA 120 AVANTI 100 FINE

PER TRIANGOLO :LATO RIPETI 3         AVANTI :LATO         DESTRA 120 FINE

Questi programmi intercambiabili producono più o meno lo stesso effetto, ma i lettori informati noteranno alcune differenze. La differenza più evidente è che alcuni permettono di tracciare figure dalle misure disuguali; in questi casi l'istruzione di eseguire questa determinata figura deve essere: QUADRATO 50 oppure QUADRATO 100 invece di QUADRATO semplicemente. Una differenza ancora più sottile è data dal fatto che alcuni di questi programmi riportano la Tartaruga nel suo stato originale. Programmi scritti in questo stile pulito sono più facili da capire e da usare in tutta una varietà di contesti. E quando i bambini rilevano questa differenza, imparano due tipi di lezione: acquisiscono un " principio matematico " generale, costruendo componenti che favoriscono la modularità, e imparano ad usare la potentissima idea di "stato".

La stessa strategia di muoversi dal familiare allo sconosciuto, mette il bambino in contatto con alcune idee generali potenti: L'idea, per esempio, di organizzazione gerarchica (del sapere, di organizzazioni e di organismi), o ancora l'idea di piano di esecuzione di un progetto, o quella di correzione di errori.

Non si ha bisogno di un elaboratore per disegnare un triangolo o una quadrato. Sono sufficienti carta e matita. Ma una volta che questi programmi sono stati elaborati, diventano blocchi di costruzione che rendono capace il bambino di creare gerarchie di conoscenze. In questo processo si sviluppano notevoli abilità intellettuali—è quello che emerge chiaramente osservando i progetti messi a punto dai bambini dopo alcuni incontri con la Tartaruga. Molti bambini hanno seguito lo stesso itinerario di Pamela, che ora descriverò. Pamela ha cominciato coll'insegnare all'elaboratore QUADRATO e TRIANGOLO come sono stati descritti prima. Si è quindi accorta che poteva costruire una casa mettendo il triangolo sopra il quadrato. Ha provato in questo modo:

Ma quando ha dato l'istruzione CASA, ecco il disegno della Tartaruga:

Fig.4

Il triangolo apparve dentro il quadrato invece che sopra!

Un bambino, durante una lezione di matematica, di fronte a un errore, reagisce cercando di dimenticarlo il più presto possibile. Ma il bambino, in un ambiente LOGO, non è criticato per un errore nel disegno. La correzione degli errori (debugging) fa parte del processo di comprensione di un programma; il bambino che programma è incoraggiato a studiare il bug, non a cancellarlo in fretta dalla sua memoria. E nel contesto Tartaruga c'è una buona ragione per studiare il bug. Se ne ricavano dei vantaggi.

Ci sono diverse maniere per individuare la natura di un errore. Pamela ne trovò una giocando alla Tartaruga. Ripercorrendo il cammino della Tartaruga, si accorse che il triangolo finiva dentro il quadrato perché il suo primo movimento di rotazione nel tracciare il triangolo era un giro a destra. Così poté correggere il bug programmando un triangolo ruotato a sinistra. Un altro modo semplice per venirne a capo sta nell'inserire un SINISTRA 60 tra quadrato e TRIANGOLO. In ambedue i casi la procedura corretta da il disegno che segue:

Fig.5

L'allievo vede dei progressi, e constata anche che le cose spesso non sono né completamente giuste né completamente sbagliate, ma sono in una situazione di continuità. La casa risulta migliore ma ha ancora un bug. Giocando ancora un poco alla Tartaruga, anche questo inconveniente può essere eliminato dando l'ordine

DESTRA 90

come primo passo nel programma.

Alcuni bambini usano elementi del programma per fare disegni di oggetti concreti come CASA, mentre altri preferiscono effetti più astratti. Per esempio se si dà l'istruzione QUADRATO, si fa ruotare la Tartaruga con l'istruzione DESTRA 120, poi ancora QUADRATO, di nuovo si fa ruotare la Tartaruga con DT 120, si dà di nuovo l'ordine QUADRATO e si fa ripetere; si ottiene il disegno della Fig. 6a. Con un angolo di rotazione più piccolo si ha il disegno della Fig. 6b. ¶ ¶

Fig.6a	Fig.6b

Questi esempi illustrano come i principi di continuità e di potenza rendano accessibile la geometria della Tartaruga. Ma noi volevamo che facesse qualche altra cosa: che aprisse nuovi orizzonti intellettuali, che fosse soprattutto foriera di idee potenti.

Perfino disegnando questi semplici quadrati e queste stelle, la Tartaruga apportava concetti importanti: quello di angolo, di ripetizione controllata, di operatore di cambiamento di stato. Se vogliamo avere una visione d'insieme più sistematica di ciò che i bambini apprendono lavorando con la Tartaruga, cominciamo col distinguere tra due tipi di conoscenze. Il primo tipo è matematico: le Tartarughe non sono che un piccolo settore di un vasto campo matematico: la geometria della Tartaruga, una forma di geometria facile da assimilare, che apporta realmente idee matematiche molto generali. L'altro tipo di conoscenza è matetico: la conoscenza riguardo l'apprendimento. Esamineremo dapprima gli aspetti matetici dell'esperienza della Tartaruga e in seguito passeremo al suo aspetto più tecnicamente matematico. Naturalmente i due si sovrappongono.

Abbiamo introdotto la geometria della Tartaruga associandola a un fondamentale principio matetico: dare un senso a ciò che si vuole imparare. Ricordiamo il caso di Jenny, la quale possedeva i prerequisiti concettuali per definire nomi o verbi, ma non arrivava ad apprendere la grammatica perché non poteva identificarsi con questa impresa. Vale a dire che la grammatica non aveva un senso per lei, una ragione profonda d'essere. La geometria della Tartaruga è stata concepita affinché i bambini potessero trovarvi un senso, affinché fosse in sintonia con la loro percezione di ciò che è importante. Ed è stata concepita per aiutare i bambini a sviluppare la strategia matetica: prima di apprendere qualcosa, cominciare col trovarvi un senso.

L'episodio del cerchio Tartaruga illustra l'apprendimento sintonico.² Questo termine è derivato dalla psicologia clinica e può essere opposto all'apprendimento dissociato di cui si è già trattato. Talvolta lo si trova unito ad altri termini indicanti tipi di sintonicità. Si può dire, per esempio, che il cerchio Tartaruga è "corposintonico" in quanto in stretta relazione con la percezione e la conoscenza che i bambini hanno del loro corpo. Oppure è egosintonico in quanto è coerente con la percezione che i bambini hanno di se stessi come persone dotate di intenzioni, mete, desideri, gusti e antipatie. Un bambino che disegna un cerchio Tartaruga vuole disegnare il cerchio; L'operazione lo fa sentire fiero e felice.

La geometria della Tartaruga s'impara perché è sintonica. Ed essa è un aiuto per altri apprendimenti perché incoraggia l'uso consapevole e deliberato delle strategie matetiche e del problem-solving. Il matematico George Polya ³ ha suggerito che dovrebbero essere insegnati metodi generali per risolvere i problemi. Alcune delle strategie utilizzate nella geometria della Tartaruga sono casi particolari dei suggerimenti di Polya. Polya raccomanda, per esempio, quando si affronta un problema, di passare in rassegna mentalmente una lista di domande euristiche quali: questo problema può essere suddiviso in problemi più semplici? Questo problema può essere confrontato con un altro che so già risolvere? La geometria della Tartaruga si presta a questo tipo di esercizio. La chiave per scoprire come far disegnare un cerchio alla Tartaruga è di riferirsi a un problema la cui soluzione è ben conosciuta quello di camminare in cerchio. La geometria della Tartanlga fornisce eccellenti opportunità di esercitare l'arte di scomporre le difficoltà. CASA, per esempio, è stata ottenuta facendo prima QUADRATO e TRIANGOLO. In breve, io credo che la geometria della Tartaruga si applichi cosi bene ai principi di Polya, che il mezzo migliore per spiegare Polya agli studenti sia di far loro apprendere la geometria della Tartaruga. Essa è quindi portatrice delle idee generali di una strategia euristica.

A causa dell'influenza di Polya, è stato spesso consigliato agli insegnanti di matematica di porre particolare attenzione tanto all'euristica, ossia al "processo", quanto al contenuto. Se questa idea non è riuscita a radicarsi nel sistema educativo, si può in parte imputare alla rarità di situazioni adeguate in cui i bambini hanno potuto affrontare e interiorizzare modelli di conoscenza euristica semplici ed efficaci. La geometria della Tartaruga non è soltanto particolarmente ricca di tali situazioni, ma aggiunge anche un nuovo elemento al consiglio di Polya: che per risolvere un problema occorre cercare di ricondurlo a una situazione già capita. II consiglio è astratto; la geometria della Tartaruza lo trasforma in un principio concreto di procedura: gioca alla Tartaruga. Fallo da te. Lavorando con la Tartaruga si dispone di una fonte quasi inesauribile di "situazioni similari" perché le traiamo dal nostro stesso comportamento, dal nostro stesso corpo. Perciò, quando siamo in difficoltà, possiamo giocare alla Tartaruga. Il consiglio di Polya diventa così realizzabile, e la geometria della Tartaruga getta un ponte verso i suoi insegnamenti. Il bambino che ha lavorato a lungo con le Tartarughe si convince profondamente di quanto sia valido "cercare una situazione similare", poiché è una tattica efficace. Dai successi ottenuti deriva la disinvoltura e dunque l'abilità necessaria per riuscire ad applicare il principio in situazioni nelle quali le analogie sono meno evidenti, come la maggior parte di quelle che s'incontrano nella matematica scolastica. Questa disciplina, sebbene elementare nel suo contenuto aritmetico, si rivela relativamente complicata, quando si tratta di applicare i principi di Polya.

L'aritmetica è un campo poco adatto per imparare a pensare in modo euristico. La geometria della Tartaruga è un campo eccellente. Per le sue qualità corposintoniche ed egosintoniche, l'atto di imparare a far disegnare alla Tartaruga dà al bambino un modello di apprendimento molto diverso da quello dissociato di Bill, un bambino al quinto anno di scuola, che così descrive come s'imparano le tabelline:

"Una cosa come questa s'impara facendo il vuoto nella testa e ripetendola tante, tante volte, finché non la sai ".

Bill ha passato moltissimo tempo a " imparare " le sue tabelline. I risultati furono poveri e ciò, in effetti, dimostra che Bill ha riferito fedelmente i suoi processi mentali nell'imparare. La causa del suo fallimento sta nel fatto che egli si sforzava di non stabilire alcun rapporto con la materia o, piuttosto, aveva adottato il peggior tipo di rapporto, quello dissociativo, come strategia per imparare. I suoi insegnanti pensavano che " avesse una memoria limitata " e avevano persino ipotizzato una lesione cerebrale. Ma Bill conosceva perfettamente molte canzoni popolari e folk, che ricordava senza difficoltà, forse perché nel loro caso era troppo coinvolto per pensare di fare il vuoto nella sua testa.

Teorie correnti sulla separazione delle funzioni cerebrali potrebbero suggerire che "la limitata memoria di Bill " fosse specifica per i numeri. Ma il ragazzo ricordava facilmente i numeri di serie, i prezzi e le date di edizione di migliaia di dischi. La differenza tra ciò che egli "poteva" e "non poteva" imparare non dipendeva dal contenuto ma dalla relazione che egli stabiliva con le conoscenze. La geometria della Tartaruga, in virtù delle sue connessioni con il ritmo, il movimento e l'orientamento necessari nella vita di tutti i giorni, permise a Bill di rapportarsi ad essa più come aveva fatto con le sue canzoni che con le tabelline. Il suo progresso fu straordinario. Attraverso la geometria della Tartaruga, le conoscenze matematiche che Bill aveva fino ad allora rifiutato poterono penetrare nel suo mondo intellettuale.

Ora passiamo dalle considerazioni matetiche a quelle matematiche. Quale matematica s'impara con la geometria della Tartaruga? Ai fini della discussione distinguiamo tre ordini di conoscenze matematiche, ciascuna delle quali trae vantaggio dal lavoro con le Tartarughe. Primo, c'è un corpo di conoscenze, la "matematica scolastica", che è stato esplicitamente selezionato (a mio parere, più che altro per circostanze storiche) come il minimo di basi matematiche che tutti i cittadini dovrebbero possedere. Secondo, c'è un corpo di conoscenze (lasciatemelo chiamare "protomatematica") che è presupposto dalla matematica scolastica, anche se non è esplicitamente menzionato nei programmi tradizionali. Alcune di queste conoscenze sono di natura " sociale generale ": per esempio, sapere perché puramente e semplicemente facciamo uso della matematica e in che modo essa ha senso per noi. Un'altra conoscenza di questa categoria è il tipo di struttura sottostante su cui l'epistemologia genetica ha focalizzato l'attenzione degli educatori: principi deduttivi quali la transitività, la conservazione, la logica intuitiva della classificazione e così via. Infine c'è una terza categoria: una conoscenza che non è né inclusa né presupposta dalla matematica scolastica ma che dovrebbe essere considerata parte del bagaglio intellettuale del cittadino del futuro.

(x-a)² + (y - b)² = R²

Nella geometria della Tartaruga la circonferenza è definita dal fatto che la Tartaruga continua a ripetere l'azione:

AVANTI un poco, GIRA un poco. Questa ripetizione significa che la curva che traccia avrà una " curvatura costante ", dove la curvatura esprime il valore della rotazione per un dato movimento in avanti.⁴

La geometria della Tartaruga appartiene a una famiglia di geometrie le cui proprietà non si trovano né nel sistema euclideo, né in quello cartesiano. Sono le geometrie differenziali che si sono sviluppate dopo Newton e hanno reso possibile gran parte della fisica moderna. Abbiamo già sottolineato che l'equazione differenziale è il formalismo mediante il quale i fisici sono stati capaci di descrivere il movimento di una particella o di un pianeta. Nel capitolo 5, dove noi discuteremo di questo più in particolare, vedremo anche che è il formalismo appropriato a descrivere il movimento di un animale o l'evoluzione di un'economia. E riusciremo a comprendere più chiaramente che non è una coincidenza se la geometria della Tartaruga ha legami sia con l'esperienza di un bambino che con le più notevoli conquiste della fisica.. E' che le leggi del movimento del bambino, sebbene meno precise nella forma, condividono la struttura matematica dell'equazione differenziale con le leggi del movimento dei pianeti attorno al sole e di quello delle falene intorno alla fiamma di una candela. E la Tartaruga non è né più né meno che una ricostruzione, in chiave informatica e intuitiva, del nucleo qualitativo di questa struttura matematica. Quando ritorneremo su queste idee nel capitolo 5, vedremo come la geometria della Tartaruga apre la porta a una comprensione intuitiva del calcolo, della fisica, e di modelli matematici come quelli utilizzati nelle scienze biologiche e sociali.

L'effetto del lavoro con la geometria della Tartaruga su alcune componenti della matematica scolastica è essenzialmente di ordine relazionale o affettivo: molti bambini sono arrivati al laboratorio LOGO odiando i numeri, in quanto oggetti estranei, e sono partiti amandoli. In altri casi, il lavoro con la Tartaruga fornisce particolari modelli intuitivi su concetti matematici complessi che la maggior parte dei bambini trova difficili. L'uso dei numeri per misurare gli angoli ne è un semplice esempio. Nel contesto Tartaruga i bambini acquisiscono questa abilità quasi inconsciamente. Tutti, compresi i pochi bambini ai primi anni di scuola, e i molti al terzo anno, con cui abbiamo lavorato, escono dall'esperienza con un senso molto più chiaro di ciò che si intende con 45 gradi o 10 gradi o 360 gradi, rispetto a quello che mai possa acquisire la maggior parte degli studenti di scuola superiore.

Perciò essi sono preparati ad affrontare tutte quelle discipline formali, quali la geometria, la trigonometria, il disegno industriale e così via, in cui il concetto di angolo gioca un ruolo essenziale. Ma sono preparati anche ad altro, ad un aspetto dell'uso comune nella nostra società delle misure angolari che la matematica scolastica sistematicamente ignora. Una delle applicazioni più diffuse del concetto di angolo, nella vita degli individui contemporanei normalmente evoluti, si riscontra nell'orientamento. Migliaia di persone guidano barche o aerei o leggono carte geografiche. C'è per molti una totale dissociazione tra queste attività vive e la matematica morta. Abbiamo insistito sul fatto che l'uso della Tartaruga per introdurre al concetto di angolo lo collega strettamente alla geometria corporea. Tutto ciò è stato chiamato sintonia corporea. Nel caso citato ora si tratta di una sintonia culturale: la Tartaruga connette il concetto di angolo all'orientamento, attività strettamente e positivamente radicata nella cultura extra-scolastica di molti bambini. E poiché gli elaboratori continuano a diffondersi nel mondo, la sintonia culturale della geometria della Tartaruga diventerà sempre più importante.

Fig.7a	Fig.7b

Un secondo concetto matematico chiave che la Tartaruga può rendere di più facile acquisizione è quello di variabile l'idea di utilizzare un simbolo per indicare un'entità sconosciuta Per mostrare come la Tartaruga vi contribuisce, bisogna sviluppare il programma di cerchi Tartaruga in un programma di spirali Tartaruga (Fig. 7).

Osserviamo, per esempio, la spirale a chiocciola. come il cerchio, può essere tracciata seguendo l'indicazione: " Va' avanti un poco, gira un poco ". La differenza tra i due è che il tracciato del cerchio è " lo stesso in ogni punto ", mentre quello della spirale diventa più piatto, " meno curvato " allontanandosi dal centro. Il cerchio è una curva di curvatura costante. La curvatura della spirale diminuisce muovendosi verso l'esterno. Per descrivere una spirale camminando si può fare un passo, poi girare, fare un passo, poi girare, ogni volta girando un po' meno (o camminando un po' di più). Per tradurre tutto ciò in istruzioni per la Tartaruga, bisogna trovare il mezzo per esprimere il fatto che si sta trattando con una grandezza variabile. Inizialmente si potrebbe cominciare con un programma molto lungo (vedi Fig. 8) che specificherebbe dettagliatamente di quanto la Tartaruga dovrebbe girare ad ogni passo. Questo sarebbe veramente noioso. Esiste un metodo migliore che utilizza il concetto di designazione simbolica- attraverso una variabile, una delle più potenti idee matematiche mai concepite.

In LINGUAGGIO TARTARUGA, le variabili sono presentate come un mezzo per comunicare. Quello che noi vogliamo dire alla Tartaruga è "vai avanti di un piccolo passo, poi gira un poco, ma ora non posso dirti di quanto devi girare, perché sarà diverso ogni volta ". Per tracciare la "spirale quadrata" noi dobbiamo dire "vai avanti di una certa distanza, che sarà diversa ogni volta, e poi gira di 90 gradi ". In linguaggio matematico l'espediente per dire qualcosa di simile è di inventare un termine che indichi il " valore di ciò che non ti posso dire ". Il termine potrebbe essere una lettera, come X, o potrebbe essere una parola intera, come ANGOLO o DISTANZA. (Uno dei contributi minori dell'informatica alla matematica è l'abitudine a usare parole intere, invece di singole lettere, per designare le variabili.) Per mettere in pratica l'idea di variabile, il LINGUAGGIO TARTARUGA permette di creare una "procedura con un dato da inserire (inpat) ", il che può essere fatto componendo quanto segue:

L'istruzione PASSO 100 farà andare avanti la Tartaruga di 100 unità, poi la farà girare verso destra di 90 gradi. Similmente PASSO 110 la farà andare avanti di 110 unità e poi girare di 90 gradi.

Negli ambienti LOGO incoraggiamo i bambini ad utilizzare un paragone antropomorfico: l'istruzione PASSO evoca un agente (un uomo " PASSO ") il cui lavoro consiste nel dare due ordini alla Tartaruga, l'ordine AVANTI e l'ordine DESTRA. Ma questo agente, per svolgere il suo lavoro, deve aver ricevuto un messaggio, un numero che sarà passato all'" uomo AVANTI " il quale lo passerà alla Tartaruga.

La procedura PASSO non ha niente di stimolante, ma un piccolo cambiamento la renderà tale. Paragoniamola con la procedura SPIRALE (SPI), che è esattamente la stessa, tranne che ha una riga supplementare

L'istruzione SPI 100 chiama l'agente SPI e gli dà l'input 100. L'agente SPI allora emette tre istruzioni. La prima è identica a quella che dava precedentemente l'agente PASSO: bisogna dire alla Tartaruga di andare avanti di 100 unità. La seconda dice alla Tartaruga di girare a destra. Ancora non c'è nulla di nuovo. Ma la terza produce un effetto straordinario! Questa istruzione è SPI 105. Qual è il suo effetto? Essa dice alla Tartaruga di andare avanti di 105 unità, poi di girare a destra di 90 gradi, e quindi emette l'istruzione SPI 110. Si tratta di un'astuzia chiamata " iterazione " che permette di avere un processo senza fine i cui passi iniziali sono mostrati nella Fig. 9a.

Fig.9a

Di tutte le idee alle quali ho iniziato i bambini, quella della iterazione spicca in quanto è un'idea che provoca una reazione d'entusiasmo. Io penso che ciò accada in parte perché l'idea di una cosa che va avanti per sempre colpisce la fantasia di ogni bambino e in parte perché l'iterazione stessa ha radici nella cultura popolare. Per esempio c'è l'indovinello ricorsivo: Se una fata ti chiedesse di esprimere due soli desideri, quale dovrebbe essere il secondo? (Risposta: Due altri desideri.) E c'è anche l'immagine molto evocatrice dell'etichetta di un prodotto, sulla quale è rappresentato il prodotto... con la sua etichetta e via di seguito. Offrendo abbondanti opportunità di giocare con l'infinito, il nucleo di idee rappresentate dalla procedura SPI mette in contatto il bambino con qualcosa di simile all'essere un matematico. Un altro aspetto del vivere un'esperienza matematica è illustrato dalla Fig. 9b, in cui vediamo come un curioso fenomeno matematico possa essere indagato facendo variare l'angolo nella procedura SPI.

Fig.9b

Gli angoli intorno ai 90 gradi producono la comparsa di un fenomeno inatteso: le braccia della " galassia " simili a spirali ritorte non erano effettivamente programmate nella procedura. La loro apparizione provoca uno shock e spesso diviene causa di lunghe ricerche in cui il pensiero numerico e geometrico s'intrecciano con quello estetico.

Nell'ambiente LOGO si acquisiscono nuove idee come un mezzo per soddisfare un bisogno personale di fare qualcosa di cui fino ad allora non si era capaci.

In un ambiente di scuola tradizionale lo studente alle prime armi incontra la nozione di variabile in piccoli problemi del tipo:

5 + x = 80 Qual è il valore di x?

Rari sono i bambini che vedono in questo problema un interesse personale, e più rari ancora quelli che vivono l'esperienza del metodo di soluzione come fonte di arricchimento. Hanno ragione! Nel contesto della loro vita quotidiana, non potrebbero farci un gran che. Nell'incontro con LOGO la situazione è completamente differente. Qui il bambino ha un bisogno personale: fare una spirale. In questo contesto l'idea di variabile accresce la capacità personale, capacità di fare una cosa desiderata ma inaccessibile senza questa idea. Certo, molti bambini che affrontano la nozione di variabile in una situazione tradizionale, imparano ad usarla effettivamente. Ma di rado essa trasmette un senso di " potere matematico ", nemmeno agli allievi migliori e più brillanti in matematica. Ed è in questo il punto di maggiore contrasto tra l'incontro con l'idea di variabile nella scuola tradizionale e nell'ambiente LOGO. Qui il concetto di variabile dà al bambino dei poteri, e il bambino sperimenta come la matematica può permettere a intere culture di fare ciò che nessuno era mai stato in grado di fare prima.

Se l'uso di una yariabile per tracciare una spirale fosse introdotto come un esempio isolato per " illustrare " il " concetto di potere matematico ", avrebbe solo occasionalmente la possibilità di far presa su qualche bambino (come gli ingranaggi su di me).

Ma nella geometria della Tartaruga questo non è un esempio isolato: è tipico di come tutto il sapere matematico viene affrontato. Il potere matematico, si potrebbe dire, diventa un modo di vita. Il senso di potere non è soltanto associato con i metodi immediatamente applicabili, quali l'uso di variabili nella misura angolare, ma anche a concetti come " teorema " o " prova " o " metodo euristico " o " metodo di problem-solving ". Nell'usare questi concetti, il bambino sviluppa dei modi di parlare matematica. Ed è a questo sviluppo del linguaggio matematico che noi ora ci volgiamo.

Consideriamo un bambino che ha già fatto disegnare alla Tartaruga un quadrato e un cerchio e che ora vorrebbe farle disegnare un triangolo con tutti e tre i lati uguali a 100 passi di Tartaruga. La forma del programma potrebbe essere questa:

Ma per far disegnare la figura alla Tartaruga il bambino deve dire di più. Che cos'è la quantità che abbiamo chiamato QUALCOSA? Per il quadrato noi avevamo dato alla Tartaruga l'istruzione di girare di 90 gradi a ogni vertice, cosicché il programma era:

Ora possiamo vedere come il consiglio di Polya, " cerca delle similarità ", e il principio procedurale della geometria della Tartaruga, " gioca alla Tartaruga ", possono collaborare. Che cosa c'è di comune tra il quadrato e il triangolo? Se noi giochiamo alla Tartaruga e " percorriamo " il cammino che vogliamo farle compiere, notiamo che in ambedue i casi partiamo e arriviamo nello stesso punto e rivolti nella stessa direzione. Vale a dire che ritorniamo nello stato di partenza E nel frattempo abbiamo fatto un giro completo. Ciò che è diverso nei due casi è se il nostro giro viene effettuato " in tre mosse " o " in quattro mosse ". Il contenuto matematico di quest'idea è tanto potente quanto semplice. È prioritaria la nozione di percorso completo; di quanto però si gira tutto intorno?

IL fatto straordinario è che tutti i percorsi completi raggiungono lo stesso totale: 360 gradi. I quattro 90 gradi del quadrato danno 360, e poiché tutte le rotazioni avvengono agli angoli, le tre svolte in un triangolo devono essere ciascuna di 360 gradi diviso tre. Quindi la quantità da noi chiamata QUALCOSA è ora 120 gradi. Questa è l'enunciato del " Teorema del Giro Completo Tartaruga ".

Se una Tartamga percorre il contorno di una qualsiasi area e finisce nello stato iniziale, la somma di tutte le rotazioni sarà di 360 gradi.5

Fa parte integrante della comprensione del teorema imparare ad usarlo nella soluzione di una ben definita classe di problemi. Quindi l'incontro del bambino con questo teorema è per molti aspetti diverso dall'imparare a memoria il suo corrispettivo euclideo: " La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi".

Primo (almeno nel contesto degli elaboratori LOGO), il Teorema del Giro Completo Tartaruga è più potente: il bambino può usarlo realmente. Secondo, è più generale: si applica a quadrati e curve così come a triangoli. Terzo, è più comprensibile: la sua dimostrazione è facile da afferrare. Ed è più personale: si può " camminarci dentro " ed è un modello per la più generale tendenza a collegare la matematica alle conoscenze personali.

Abbiamo visto bambini usare il Teorema del Giro Completo Tartaruga per disegnare un triangolo equilatero. Ma quello che è più interessante è osservare come il teorema possa guidarli da progetti semplici ad altri molto più avanzati: i fiori riprodotti nelle figure al centro del libro mostrano un progetto ad uno stadio un po' più avanzato di questo cammino. Perché l'importante, quando diamo ai bambini un teorema, non è che lo debbano imparare a memoria: l'essenziale è che, crescendo con un bagaglio di pochi teoremi importanti, si giunga ad apprezzare che certe idee possono essere usate come strumenti con cui pensare per tutta la vita. Si impara ad assaporare e a rispettare il potere delle idee feconde. Si impara che l'idea più feconda di tutte è l'idea di idea feconda.