Ultimo aggiornamento: 27/05/2005

Paolo Zellini "GNOMON (Una indagine sul numero)", Ed. Adelphi Milano, 1999

Lo "gnomone", preso in considerazione nel libro, non è  quell'asticciola la cui ombra serve a segnare le ore negli orologi solari, o meridiane, ma è precisamente una figura geometrica, piana o solida, che Erone di Alessandria, ad esempio, definiva, in generale, come ciò che "aggiunto a qualsiasi entità, numero o figura, rende il tutto simile all'entità a cui è stato aggiunto."

Filolao afferma: "Il numero è la forza sovrana autogenetica, che mantiene l'eterna permanenza delle cose del cosmo." Il concetto pitagorico, relativo al numero considerato secondo la natura dello gnomone, è ripetuto più volte nel testo. Nell'antichità, i concetti matematici erano stati pensati come un "logos divino", perché il loro potere di rendere uguale il diverso appariva decisamente straordinario.

Lo gnomone era uno strumento matematico usato per la generazione di figure simili. Era diffusa tale tecnica, che rispondeva "all'esigenza di ingrandire o rimpicciolire una forma, conservandone l'aspetto." In questo modo si poneva "una delle più alte e ardue questioni della matematica e del pensiero in genere: quella dell'invarianza nel mutamento." Tale invarianza nel mutamento rappresenta un tema centrale degli Sulvasutra (trattati indiani) e dei passi dello Satapatha Brahmana, che analizzano le misure degli altari, i quali erano soggetti a successivi ingrandimenti, rimanendo invariata la forma.

Paolo Zellini analizza la "matematica antica", mettendo a confronto le tradizioni mesopotamica, greca, egizia, indiana e cinese (trovando evidenti somiglianze), per "attraversare poi la matematica araba e l'algebra moderna, e sfociare infine in quel grandioso progetto che, dalla metà del XX secolo, ha visto entrare in scena la macchina come protagonista del calcolo su larga scala." 

Il libro rivela l'impegno dell'autore ad analizzare l'essenza del numero, cercando di rispondere alla famosa domanda di Didekind (con la quale la Premessa ha inizio): "Che cosa sono e che cosa vogliono significare i numeri?"

Ringrazio Giorgio Pietrocola, che nel forum dell'Indire (corso ForTic  B) ci ha regalato varie animazioni, costruite con la "tartaruga" del Logo; ne inserisco sette, citando alcune frasi di Giorgio stesso:

la prima animazione "rende visiva la progressione geometrica, che parte da un mezzo e viene dimezzato ogni volta il successivo addendo, facendo intuire come 1/2 + 1/(2^2) + 1/(2^3)...all'infinito sia esattamente 1" e "sembra di vedere uno gnomone fuggire verso l'infinitamente piccolo"; credo che il collega ci abbia proposto una variante del Tangram, in modo che divenisse, nel contempo, il simbolo dello gnomone e dell'infinito;

la seconda e la  terza animazione sono dedicate alla stella a cinque punte, simbolo dei pitagorici; se in un pentagono regolare, inscritto in  un cerchio, si tracciano le diagonali, si ottiene la stella regolare a cinque punte, dentro la quale ci sarà un altro pentagono, dentro il pentagono ci sarà un'altra stella e così via...all'infinito;
 

la quarta animazione ci viene presentata insieme con "La fiaba dello Gnomo" : "C'era una volta Gnomo tutto vestito di nero; poi, per un incantesimo, subì una successiva e ripetuta invasione di quadrati, che riducendo il suo spazio lo fecero diventare uno Gnomino sempre più piccolo. Oggi, dopo tanto tempo, continua ancora a diminuire e mai si arresterà, ma nessuno ormai può più vederlo. Possiamo solo continuare a ricordare il momento in cui scomparve per sempre dalla nostra vista." 

Ringrazio nuovamente Giorgio Pietrocola, che continua "La fiaba dello gnomo", riassumendo anche la "puntata precedente", per sottolineare determinati particolari, squisitamente matematici: "Gnomo, il rettangolo aureo tutto nero, di lato maggiore phi con esponente 0, cioè di lato maggiore: 1, e di lato minore phi con esponente 1, cioè di lato minore: 0,618..., e quindi di area phi, viene invaso da infiniti quadrati rossi che occupano il suo spazio, riducendolo a un infinitesimo. Poiché le dimensioni di Gnomo si riducono ogni volta di phi (circa 62%), i quadrati rossi hanno tutti delle aree pari alle potenze di phi con esponente 2; 4; 6; 8...(phi^2; phi^4...) e così via, mentre le aree delle varie forme di Gnomo corrispondono a phi con esponente dispari: 3; 5; 7; 9...(phi^3; phi^5...) e così via verso l'infinitamente piccolo."

Per presentare la quinta animazione, Giorgio scrive: "In tale animazione, per un incantesimo di contrappasso, tutte le forme di Gnomo costituiscono un potente esercito, che si prende la sua rivincita sul re dei quadrati, il più grande di tutti gli invasori, che ha area e lati phi^0, cioè 1."

Nelle pagine 177 e 178, del libro "Gnomon", si legge: "Il numero F=(1 + Ö5)/2 può essere anche individuato da un'antanairesis rappresentabile in una sequenza illimitata, spiraliforme, di rettangoli simili. Se si considera il rettangolo di base 1 e altezza (1 + Ö5)/2, da questo si possono <<ritagliare>> tanti quadrati quante sono le volte che 1 è contenuto in (1 + Ö5)/2. Rimane come <<resto>> un rettangolo simile al primo, cui si applica la stessa operazione... Il processo è visibile in una successione illimitata di rettangoli simili...dove ognuno dei quali differisce dal precedente per via di uno gnomone formato dal quadrato costruito sul lato più grande. Si può così affermare che il quadrato è lo gnomone di un rettangolo aureo, cioè di un rettangolo tra i cui lati c'è un rapporto uguale a (1 + Ö5)/2. Ciò non dimostra che i pitagorici fossero in grado di ricavare con questa strategia una convergente al numero aureo, ma solo che il rapporto corrispondente al numero aureo poteva essere direttamente associato a un processo iterativo di successive correzioni gnomoniche.";

(L'immagine, non animata, del rettangolo aureo è stata tratta dalla pagina 177 del libro "Gnomon" di Paolo Zellini)

Cliccando su ciascuna immagine, inserita a sinistra in questo spazio, dedicato al libro "Gnomon", potrete vederla ingrandita. Per ritornare, poi, in questa pagina, basta cliccare sul pulsante "CHIUDI", che si trova in fondo a ciascuna pagina contenente l'immagine.

La sesta animazione  riguarda la "spirale quadratica". A pagina 72 del testo di Zellini si  legge che la spirale generata dai triangoli rettangoli  "potrebbe essere stata concepita da Teodoro di Cirene, secondo una congettura non confermata, per costruire segmenti lineari di lunghezze: radice quadrata di 2, radice quadrata di 3, radice quadrata di 4...fino a radice quadrata di 17." Nella nota 4., sempre a pagina 72, c'è la seguente precisazione: "...Del fatto che Teodoro aveva considerato le radici di n fino a n = 17 si parla nel Teeteto di Platone. La ragione dell'arresto a 17 sarebbe dovuta all'abitudine dei pitagorici a disegnare sulla sabbia: dopo il 17 la spirale comincerebbe a sovrapporsi a se stessa e la figura diventerebbe illeggibile..."

La settima animazione rappresenta, come dice Giorgio Pietrocola stesso, che ringrazio ancora: <<Un viaggio iperspaziale di una coraggiosa tartaruga, che tra triangoli aurei roteanti e interminabili spirali logaritmiche, sprofonda in un vortice infinitesimo".

Nel libro "Gnomon", a pagina 33, si legge: "...Erone di Alessandria notò che in un qualsiasi triangolo se ne può ritagliare una parte che sia lo gnomone dell'altra. Ad esempio, in un triangolo isoscele con un angolo di 36 gradi e gli altri di 72 si può tracciare la bisettrice di uno degli angoli alla base in modo da ottenere due triangoli isosceli, uno simile a quello iniziale, e l'altro uguale allo gnomone del primo. L'operazione si può iterare all'infinito, ottenendo un'immagine a cui è sovrapponibile una curva a spirale...>>

- Gianfranco Bo (di cui segnalo la pagina web: http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/spiraurea.htm per visionare l'articolo inerente a "La spirale aurea");

- Dino Liberatore, autore, su mia richiesta, dell'immagine a fianco (cliccare sull'immagine per ingrandirla), che rappresenta un'ottima "spirale approssimativa";

- Giorgio Pietrocola, che ha accolto il mio invito, per animare la costruzione di Elena Saccardi (cliccare sull'immagine per  ingrandirla);

- Elena Saccardi, che ha preparato la costruzione, visionabile sia nella pagina web di base cinque, già precedentemente linkata, sia nell'animazione di Giorgio Pietrocola.

- Giorgio Pietrocola afferma: "Ho trovato l'equazione polare r=a^teta che sono riuscito ad implementare perfettamente nella mia costruzione, confermando il mio sospetto (e l'affermazione di Odifreddi), che la curva fatta con i cerchi è solo un'approssimazione, anche se molto buona. Nell'animazione si vede la differenza. La spirale logaritmica è blu mentre i cerchi sono rossi.(cliccare sull'immagine per ingrandirla)"

Rivolgo un sentito ringraziamento anche a Flavio Cimolin, a Nicola Santoro e, in particolare, a Piergiorgio Odifreddi (immancabilmente disponibili a essere consultati).

Sono sicura che continueremo a documentarci e a riflettere sulla costruzione delle curve piane, che tanto ci affascinano...

AGGIORNAMENTO (29/06/2004)

Giorgio Pietrocola, che ringrazio ancora, ci offre, nell'ordine, sette costruzioni presentandole così :

"Prima animazione: tra tutti i triangoli scaleni possibili quello che si incastra è unico! Anzi, ce n'è uno per ogni poligono a partire dal quadrilatero. E trovarlo non mi sembra affatto facile... E sto ancora indagando...

Seconda animazione: ecco infiniti triangoli scaleni simili, in progressione geometrica, che tassellano un pentagono.
Terza animazione: in questa e nelle seguenti si visualizza molto bene lo gnomone, che  rigenera eternamente la stessa figura, nella quale è possibile evidenziare i concetti relativi a:

- poligonali regolari

- triangoli simili

- auto-similitudine

- gnomone

- tassellazione regolare del piano

Quarta animazione: infiniti triangoli simili tassellano un esagono

Quinta animazione: è la volta della tassellazione dell'ettagono 

Sesta animazione: il triangolo scaleno è lo gnomone dell'ottagono

Settima animazione:  appare il mollusco con tanto di spirale logaritmica!"

(Cliccare su ciascuna immagine per ingrandire)

AGGIORNAMENTO (05/07/2004)

Reputo interessante riportare una riflessione di Giorgio Pietrocola, che scrive: "Sto ancora pensando ai miei triangoli scaleni (evidenziati nelle precedenti animazioni), perché credo avrebbero interessato moltissimo Escher, che però, sospetto, non li abbia mai conosciuti. Ecco una laboriosa animazione (clicca qui per vederla) a sostegno della mia affermazione."