|
Lezione n° 19
GRAN FINALE
Rappresenta una "carrellata sulla contemporaneità"
(Premetto che P. Odifreddi ha precisato di aver identificato, nelle sue
slides, ogni personaggio solo col cognome)
La logica contemporanea viene suddivisa in quattro parti:
1) Teoria dei modelli (Studio formale, matematico, della semantica)
2) Teoria della dimostrazione (Studio formale, matematico, della
sintassi)
3) Teoria della ricorsività (Studia le potenzialità e le limitazioni dei
calcolatori)
4) Teoria degli insiemi (Studio degli insiemi)
1) Teoria dei modelli:
a) Tarski (1936) [P. Odifreddi sottolinea l'importanza
di tale data, perché rappresenta l'anno in cui sono nate le quattro
branche della logica; è nato il teorema di Tarski; sempre in tale anno
A. Turing ha inventato la "macchina di Turing"; nasce con Gentzen le
teoria della dimostrazione]
Il contributo più importante di Tarski è rappresentato dalle sue
ricerche sulla semantica dei linguaggi formali e dal suo studio
fondamentale della verità. Egli dimostra che la definizione di verità è
data dal metalinguaggio. Con il suo importante teorema, viene risolto il
"paradosso del mentitore", in quanto non si può parlare della verità nel
linguaggio all'interno di un sistema formale. La verità sta nel
metalinguaggio.
b) Robinson Abraham (anni '50 - '60)
Ha inventato le ali a delta degli aerei, quando era
matematico applicato; poi è diventato logico matematico:
Analisi non standard (è una versione dell'analisi infinitesimale;
versione dell'analisi fatta come sarebbe piaciuto a Leibniz; infatti
vengono usati gli infinitesimi. I numeri reali erano gli infinitesimi di
Leibniz, definiti ora in modo assolutamente rigoroso)
Strutture algebriche (studio, dal punto di vista logico, di che cosa
sono le strutture per l'algebra)
c) Morley (1963)
Morley ha dimostrato un teorema di categoricità.
Si è
dedicato allo studio di strutture che sono, o possono non essere,
isomorfe una con l'altra.
d)
Shelah (anni '80) matematico israeliano
A lui si devono i teoremi di classificazione di strutture (che servono
per modellare la semantica).
2) Teoria della
dimostrazione
a) Gentzen (1936)
Dimostra la consistenza dell'aritmetica, al di fuori
dell'aritmetica, usando un principio di
induzione transfinita.
b) Schutte e Takenti (anni '50 - '60)
Volevano estendere all'analisi, il risultato ottenuto da Gentzen per
l'aritmetica.
Riuscirono a dimostrare la consistenza DI PARTI dell'analisi, NON
dell'intera analisi.
c) Girard (anni '80 - '90) Girard viene considerato un
genio della logica moderna.
- Consistenza dell'intera analisi
(Girard dimostra la consistenza dell'intera analisi, in
maniera globale, ma non costruttiva.)
- Logica lineare (è un'estensione
della logica classica ed è il passo successivo alla logica
intuizionista)
3) Teoria della ricorsività
Turing è il padre dell'informatica moderna (a lui è stata dedicata
la videolezione n°18)
a) Kleene (anni '40 - '50)
È il dominatore della teoria della ricorsività classica (studio sulla
calcolabilità sui numeri interi).
b) Sacks (1963)
Ha studiato la ricorsività generalizzata e si è dedicato allo
studio della calcolabilità sui numeri reali.
Dimostra il suo teorema: Densità dei gradi r. e. (ricorsivamente
enumerabili).
c) Slaman (anni '90)
Con la sua "teoria dei gradi" ha dato il maggior contributo, in questi
ultimi anni, alla teoria della ricorsività.
4) Teoria degli insiemi
Gli insiemi sono collezioni di oggetti astratti. Si parte
dall'insieme vuoto e, a partire dall'insieme vuoto, si costruiscono
insiemi sempre più complicati.
a) Cantor (ha dimostrato che non c'è un solo
infinito)
b) Gödel (1938) affronta il problema della
consistenza dell'ipotesi del continuo (risolto in due passi successivi
da Gödel e, nel 1963, da Cohen) Non è possibile provarla e non è
possibile refutarla all'interno della teoria degli insiemi; abbiamo,
quindi, un esempio di quelle proposizioni gödeliani indecidibili.
c) Solovay (anni '70)
Conseguenze di assiomi dell'infinito
P. Odifreddi ha spiegato i simboli dell'infinito potenziale (un otto
rovesciato), dell'infinito attuale, assoluto e dell'omega
d) Woodin (anni '90)
Ha dimostrato che gli assiomi di determinatezza si possono
riformulare in termini insiemistici.
ACRONIMO DI LOGICA
Leibniz
Ockham (o Occam)
Gödel
Ignoto (logico ignoto)
Crisippo
Aristotele Lezione n° 20
Un secolo di fondamenti
P. Odifreddi parla dell'aspetto della logica matematica come fondamento
della matematica.
La logica matematica è la scienza del ragionamento matematico.
Costituisce una fondazione dell'intero edificio della matematica.
Vengono elencati i tentativi di fondare la matematica su basi certe e
complete.
Fondamenti classici della matematica:
1) Pitagora (secolo IV a. C.)
2) Euclide (secolo III a. C.)
3) Cartesio (secolo XVII)
4) Dedekind (secolo XIX) 1) Il tentativo di
Pitagora è quello di fondare la matematica sull'aritmetica. "Tutto è
numero". La scoperta degli irrazionali (lato e diagonale del quadrato
non sono commensurabili), mise in crisi la fondazione aritmetica della
matematica, basata sugli interi.
L'aritmetica non era sufficiente come fondamento della matematica; si
generò allora una contro-crisi ed Euclide costruì i suoi Elementi.
2) L'idea di Euclide era quella di fondare l'intera matematica sulla
geometria, riducendo l'aritmetica alla geometria. (Due numeri venivano
sommati come due segmenti; il prodotto di due numeri era rappresentato
dall'area del rettangolo; il prodotto di tre numeri era rappresentato
dal volume del parallelepipedo...).
Gli Elementi di Euclide rappresentano la prima trattazione
sistematica della matematica, basata su fondazione geometrica.
3) L'idea geniale di Cartesio fu quella di introdurre la geometria
cartesiana (Le coordinate cartesiane per i numeri reali)
4) Dedekind ricostruisce l'intera fondazione sull'aritmetica.
Si ritorna all'aritmetica come fondamento della matematica.
Nel momento in cui si considera l'infinito attuale, l'aritmetica fonda
la matematica.
Verso la fine dell' '800, anzi agli inizi del '900 si arriva alla crisi
dei fondamenti per il paradosso di Russell.
C'è, allora, il bisogno di ricostruire le fondamenta dell'edificio della
matematica, per dare una fondazione solida all'intero edificio.
Si registrano vari tentativi (precisamente quattro fondazioni) ogni
venti anni.
Fondamenti moderni:
1) Anni '20 : insiemi/appartenenza (nozione di insieme e relazione
di appartenenza)
2) Anni '40 : strutture (insiemi + operazioni; cioè insiemi
vestiti, non nudi, che hanno, in più, delle operazioni)
3) Anni '60 : funzioni/composizione
4) Anni '80 : funzioni/applicazione 1)
Fondazione insiemistica
(considerata, ora, un fondamento sufficientemente adeguato per la
matematica - Molti matematici si accontentano della fondazione
insiemistica). Ormai si sa: la matematica è inerentemente incompleta;
non ci può essere un unico fondamento della matematica. (Nessuna
fondazione è completa)
I due assiomi fondanti nella teoria degli insiemi sono:
- Estensionalità (Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi
elementi) È una forma di identità degli indiscernibili
dovuta a Leibniz.
- Comprensione (Ogni proprietà di insiemi determina un insieme.
Ciascuna proprietà determina uno e un solo insieme)
Nel 1902 Russell dimostrò che l'insieme degli insiemi che non
appartengono a sé stessi è contraddittorio.
La risoluzione, accettata dai matematici, è rappresentata dalla teoria
assiomatica degli insiemi proposta da:
Zermelo (1904) e Fraenkel (1921)
La lista di assiomi di Zermelo e Fraenkel è sufficiente per buona parte
della matematica moderna. Ovviamente non è completa, in quanto il
teorema di Gödel
è universale...
2) Fondazione delle strutture
(insiemi + operazioni)
Il gruppo Bourbaki (1939) con i suoi Elementi di matematica
compie il tentativo di rimpiazzare gli Elementi di Euclide come
fondazione.
Si considera la nozione di insieme non sufficiente a caratterizzare
l'oggetto matematico.
Esempi:
numeri reali con:
-somma: monoide (un "monoide" in cui si possono fare differenze si
chiama "gruppo")
-differenza: gruppo
-prodotto: anello (un "anello" in cui si possono fare quozienti si
chiama "campo")
-quoziente: campo
-radici di polinomi: campo algebricamente chiuso
Si può dire semplicemente:
somma con differenza: gruppo
somma con differenza e con prodotto: anello
somma con differenza, con prodotto e con quoziente: campo
somma con differenza, con prodotto, con quoziente e con radici di
polinomi: campo algebricamente chiuso.
Tipi di strutture (pure e miste):
- Strutture algebriche
(fare operazioni con i numeri reali)
- Strutture d'ordine (i numeri reali possono essere confrontati tra
loro)
- Strutture topologiche
La fondazione matematica preferita è proprio la fondazione strutturale.
3) Fondazione delle categorie
Gli insiemi stanno alle funzioni come le
strutture stanno ai morfismi. I morfismi sono funzioni che preservano la
struttura.
Esempio di un tipo di morfismo che trasforma il prodotto in somma:
2x+y = 2x * 2y
Eilenberg e MacLane
(1945)
introducono la nozione di "categoria" (classe di
strutture collegate da morfismi che preservano la struttura)
Teoria delle Categorie (Le Categorie sono classi di morfismi che si
compongono associativamente e ammettono identità.)
Gli insiemi stanno alle funzioni come le strutture stanno ai morfismi e
come le categorie stanno ai fontori.
Problema: Che cosa corrisponde alla categoria di tutte le categorie?
RISOLUZIONI:
-Categorie piccole
-Universi (categorie enormi che rimangono autosufficienti) [Grothendieck]
-Assiomatizzazione della nozione di categoria [Lawvere]
La teoria delle categorie ha cercato di sostituire quello che era la
nozione di insieme.
4) Quarto tipo di fondazione
Church (1933)
Lambda Calcolo
Questa teoria è fondata esattamente come la teoria degli insiemi ingenua
di Cantor e Frege, ma la si fonda sulla nozione "funzione".
| INSIEME |
FUNZIONE |
| ELEMENTO |
ARGOMENTO |
| APPARTENENZA |
APPLICAZIONE |
| ASTRAZIONE |
LAMBDA ASTRAZIONE |
Si definiscono le funzioni attraverso la descrizione dei
valori.
I due principi fondanti della teoria degli insiemi diventano:
- Estensionalità (Due funzioni sono uguali se hanno gli stessi
valori)
- Comprensione (Ogni descrizione di valori determina una
funzione)
Il paradosso di Russell parlava di insiemi che non appartengono a sé
stessi. Nel Lambda Calcolo si parla solo di funzioni, non c'è la
negazione.
Il paradosso di Russell diventa, così, il Teorema del punto fisso di
Curry.
La teoria del Lambda Calcolo è diventata, negli anni '80, la fondazione
dell' informatica. (Dalla logica è nata l'informatica.)
P. Odifreddi ha scelto una conclusione manzoniana: "Se in qualche modo
siamo riusciti ad annoiarvi, credete che non lo si è fatto apposta".
Continuo a ringraziare sentitamente Piergiorgio Odifreddi, che
con la sua consueta disponibilità e gentilezza ha letto e approvato
questa mia scheda sinottica, prima della pubblicazione. |