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Kurt Goedel viene considerato il
massimo logico della contemporaneità.
Dimostrò:
-Teorema di completezza
-Teoremi di incompletezza
Morì di consunzione (temendo che volessero avvelenarlo).
P. Odifreddi distingue due periodi nella vita e nelle opere di K. Goedel:
1) Risultati di Vienna (prima del 1938)
2) Periodo di Princeton (1938-1978)
1) I "Risultati di Vienna" rientrano nell'epoca
del positivismo logico (in cui R. Carnap afferma che il significato di una
parola sta nell'uso che ne viene fatto) e comprendono:
a)Problema della completezza
b)Problema dell'incompletezza
c)Problema della consistenza
d)Intuizionismo
a) Problema della
completezza
G. Frege, per la sua opera "Ideografia", è colui che inaugura il nuovo
corso della logica moderna; inventa un linguaggio formale, enunciando
gli assiomi della logica. G. Frege fissa le regole che soggiacciono alla
logica dei predicati.
Nel 1930 Goedel dimostra che il sistema di Frege è completo, dimostra,
cioè, che in Frege gli assiomi sono sufficienti per dimostrare tutte le
verità della logica dei predicati.
b) Problema
dell'incompletezza
Goedel era passato a interessarsi dell'aritmetica e dei
"Principia Mathematica" di B. Russel e A. N. Whitehead e voleva
dimostrare che gli assiomi erano completi. Dimostra, invece, che ci sono
verità indimostrabili all'interno del sistema (qui P. Odifreddi si è
soffermato sulla metafora della mafia: si sa che determinati mafiosi
hanno commesso determinati crimini, ma non si riesce a dimostrarlo).
Insomma, mentre per le verità logiche (nella logica dei predicati) le
verità sono dimostrabili, la matematica, invece, non riesce a essere
catturata in un sistema formale.
Modi diversi di vedere il teorema (P. Odifreddi usa tre "metafore"):
1) Fisica (metafora relativa al nostro posto nell'Universo):
Nessun osservatore può vedere un'immagine completa dell'universo
(Teorema di limitazione delle possibilità umane).
2) Letteratura (metafora del testo letterario che descrive una
realtà sufficientemente complessa, ma incompleta; es: "I promessi sposi"
non ci dicono quanti figli ebbero esattamente Renzo e Lucia).
P. Odifreddi opera un confronto minuzioso tra "testo" in letteratura e
"assiomi" (proposizioni che i matematici considerano "testo"), tra
"critica letteraria" e "dimostrazioni", tra "aspetti impliciti" e
"teoremi" (che deducono dagli assiomi ciò che era nascosto)...
Nessun testo descrive una realtà sufficientemente complessa in modo
completo.
Nessun sistema aritmetico sufficientemente complesso è completo.
Qualunque sistema di assiomi sarà incompleto.
3) Filosofia (Viene ricordato l'assunto di Kant nella "Critica
della ragion pura": se la ragione vuole essere consistente, non può
essere completa. Si precisa che:
consistenza = mancanza di contraddizioni
completezza = comprensione di tutte le verità
Le idee trascendentali, ottenute con passaggi al limite, producono
contraddizioni).
Goedel fece la stessa cosa (di Kant), in ambito matematico: in
matematica, la verità non coincide con la dimostrabilità.
Ci sono proprietà non dimostrabili, né refutabili in un sistema i cui
assiomi valgono sia per i numeri interi che per i numeri reali.
Primo teorema di incompletezza: un sistema matematico corretto (cioè che
dimostra solo verità) e sufficientemente potente (cioè che permette di
esprimere autoreferenze) è incompleto.
Secondo teorema di incompletezza: un sistema matematico corretto,
sufficientemente potente, in cui si può dimostrare l'implicazione
precedente, non può dimostrare di essere corretto.
c) Problema della
consistenza (che rappresenta il secondo problema posto da D.
Hilbert nel Congresso di Parigi del 1900)
Goedel dimostra che la consistenza è indimostrabile; si può dimostrare,
ma non al di dentro del sistema (qui la metafora che propone Odifreddi è
quella dei "pazzi". Solo i "pazzi", asseriscono di non essere pazzi. Una
persona sana di mente non afferma: "Io non sono pazza, io sono sana di mente".
Insomma, i sistemi matematici consistenti non possono dimostrare la
propria consistenza.
d) Intuizionismo (P. Odifreddi aveva dedicato la
videolezione n° 15 a Luitzen Egbertus Jan Brouwer)
Goedel dimostra che c'è un modello intuizionista nella logica
classica, quindi la logica intuizionista sarebbe inconsistente se fosse
inconsistente la logica classica.
2) Periodo di Princeton
(1938-1978)
Temendo giustamente per la propria incolumità (si è nel periodo della
seconda guerra mondiale), Goedel si trasferisce negli Stati Uniti e
lavora a Princeton, nell'Istituto degli Studi Avanzati, dedicandosi alla
ricerca riguardo a:
-Ipotesi del continuo
-Relatività generale
-Teologia
Ipotesi del continuo
Nel 1938 Goedel affronta il problema della consistenza dell'ipotesi del
continuo. Che cos'è l'ipotesi del continuo? G. Cantor aveva dimostrato
che i numeri reali sono infiniti, ma di un numero infinito maggiore del
numero infinito dei numeri interi. Che cosa c'è in mezzo tra queste due
"gerarchie" di infinito? Non c'è niente in mezzo?
Coloro che risolsero, in due passi successivi, il problema del continuo
(che rappresenta il primo problema che D. Hilbert pose nel Congresso di
Parigi del 1900) sono K. Goedel e P. Cohen.
K. Goedel dimostrò che l'ipotesi del continuo è consistente, non
è refutabile (Non è possibile dimostrare che è falsa). Dimostrò, cioè,
che ci sono dei mondi matematici in cui l'ipotesi del continuo è vera.
P. Cohen dimostrò, poi, nel 1963, che l'ipotesi del continuo è
indipendente. Goedel aveva detto che esistono mondi in cui l'ipotesi del
continuo è vera, P. Cohen dimostrò che ci sono altri mondi possibili, in
cui ci sono tanti infiniti in mezzo tra le due "gerarchie" di infinito,
quindi non è possibile provare l'ipotesi del continuo e non è possibile
refutarla (Indecidibilità). Si ha, quindi, un esempio di quelle
proposizioni indecidibili di cui parlava Goedel.
Relatività generale
(universi rotanti)
Goedel dimostra che ci sono degli universi dove non c'è una
nozione comune di tempo; dimostra che è possibile fare viaggi nel
passato.
Teologia
L'interesse per la prova ontologica dell'esistenza di Dio è, in
Goedel, puramente logico.
Sentitamente ringrazio Piergiorgio Odifreddi che, con la
disponibilità che lo contraddistingue, ha letto e approvato questa mia
scheda sinottica. |