giugno 2005

REPORT FINALE

(di Ivana Niccolai)

"Ricerca azione: Metodi per lo studio dei frattali” promossa dall'OPPI, Organizzazione per la Preparazione Professionale degli Insegnanti, 2004-05 coordinata da Adalberto Codetta Raiteri

Docente coinvolto: Ivana Niccolai (area matematica-scientifica)

Classi coinvolte: Pluriclasse (III e IV B) 

Istituto Scolastico: Scuola primaria statale “Giuseppe Garibaldi” (Circolo Didattico San Teodoro), via Bologna 6 A 16127 Genova

Tel e fax: 0102462846

e-mail:  info@scuolasanteodoro.com

Dirigente Scolastico: Giancarlo Malombra 

1)  Motivazioni

 

Si è ritenuto opportuno progettare tale esperienza, per stimolare la curiosità cognitiva degli alunni, avviandoli all’uso consapevole e mirato sia della miniera di informazioni, presente in internet, sia di software specifico, scaricabile liberamente dalla rete stessa.

Si è cercato di valorizzare la forza immaginativa e la creatività degli alunni, sviluppando nel contempo le loro capacità logico-matematiche, utilizzando il computer anche come amplificatore della comunicazione, imparando a condividere in rete risorse ed esperienze.

 

Nel corso del progetto, il programma prestabilito (vedere griglia di progettazione) è stato attuato nel rispetto delle finalità, degli obiettivi specifici, delle scelte di contenuto, nella suddivisione dei moduli didattici e nell’iter metodologico fissati e le motivazioni si sono arricchite, essendo nato nei bambini il desiderio di  inserire varie poesie (scritte da Grazia Raffa e da me) dedicate a determinati argomenti, relativi ai frattali, nel canovaccio per la recita di fine anno scolastico, il cui tema è “Comunicazione e incomunicabilità”.

Abbiamo considerato che la geometria frattale ha un proprio linguaggio, caro ai matematici; d’altra parte c’è chi considera la matematica stessa un linguaggio! (Schweiger, 1992); comunque la geometria frattale ha sicuramente un proprio linguaggio comprendente una sintassi, una semantica (con specifiche rappresentazioni semiotiche) e una pragmatica, per cui siamo riusciti a fare in modo che i frattali trovassero spazio nel nostro spettacolo, preparando anche appositi cartelloni e cartellini, da utilizzare per la scenografia.

Le poesie vengono recitate da tutti gli alunni (assegnando a ognuno specifiche parti studiate con entusiasmo sia in classe sia a casa).

I bambini hanno anche inventato poesie haiku dedicate ai frattali e inserite in un cartellone murale.

Si è continuato a curare i rapporti comunicativi in rete, tramite messaggistica attraverso la posta elettronica, con gli alunni della scuola di Cucciago, scambiando informazioni e materiali, inerenti ai lavori svolti, riguardo anche all’uso del logo e alle conoscenze sui frattali.

Per la realizzazione dei primi otto obiettivi, visionabili nella “griglia di progettazione”, era stato previsto un tempo, puramente indicativo, di almeno ventiquattro ore (due ore settimanali), mentre per la realizzazione del nono obiettivo   erano state previste due ore settimanali, a partire dal mese di gennaio fino al mese di giugno.

Abbiamo dedicato molto più tempo di quello preventivato, utilizzando anche le ore “ricreative”, e quelle dedicate alla “drammatizzazione”

   

Oltre ai riferimenti teorici, (bibliografia e sitografia), già evidenziati nella “griglia di progettazione iniziale”, nel corso dell’esperienza ho avuto modo di approfondire determinati argomenti presenti nei libri già letti e di consultare altri testi, considerando come riferimenti teorici per questa ricerca-azione, anche i seguenti volumi:

È stata visionata insieme con gli alunni la videocassetta “I FRATTALI”, descritti da E. Lorenz e B.B. Mandelbrot  in un film di H. O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, C. Zahlten, MONDADORI VIDEO, settembre 1991, di cui (in data 19/02/05) è stata pubblicata in maecla:

http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/segnalazioni.htm

            la seguente mia breve recensione:

“Si tratta di un interessante documentario (a cui è "allegato" un volumetto di venti pagine, dedicato alla teoria dei frattali, che può essere utilizzato come supporto didattico); l'accompagnamento musicale di Martin Gürtner è basato sul comportamento di una particolare successione numerica ricorsiva, i cui valori sono trasformati, "mediante un programma di calcolatore piuttosto elaborato, in parametri musicali: tono, durata, accordi e così via; i suoni sono stati prima determinati in questa maniera e poi riprodotti da un sintetizzatore".

Gli argomenti trattati sono soprattutto i seguenti:

-Montagne, paesaggio e nubi

-L'attrattore di Lorenz

-Il pendolo magnetico

-L'insieme di Cantor a tre colori

-Il metodo di Newton

-La curva di Koch

-Gli insiemi di Julia e l'insieme di Mandelbrot

Benoît B. Mandelbrot ed Edward Lorenz  presentano e illustrano il significato della geometria frattale; l'insieme di Mandelbrot viene definito esattamente un "frattale limite", in quanto contiene molti frattali e armonie molteplici...”

 

I bambini hanno apprezzato oltre alla “bellezza dei frattali” anche l’accompagnamento musicale di Martin Gürtner (basato, come ripeto, sul comportamento di una particolare successione numerica ricorsiva i cui valori sono stati trasformati, mediante un programma di calcolatore piuttosto elaborato, in parametri musicali)  

 

TEMPI

L’aula multimediale è stata disponibile per ciascuna classe due ore la settimana a partire dal mese di ottobre; durante il mese di settembre, si era provveduto a scaricare dalla rete il software necessario (già nominato), che gli alunni hanno imparato a conoscere e a usare; sono stati utilizzati soprattutto il logo e fractint.

 

PRODUZIONE (avvenuta nel corso di questa ricerca-azione)  DI MATERIALE DIDATTICO FINALIZZATO A DETERMINATI APPRENDIMENTI DA PARTE DEGLI ALUNNI:

    

 

4)    Valutazione “interna”

 Mi sono attenuta a quanto preventivato.

Il tema dei frattali è stato inserito nella valutazione curricolare, in modo “trasversale”, interessando principalmente sia l’ambito matematico -scientifico sia  l’informatica.

Le prove di verifica sono consistite in relazioni soprattutto orali, ma anche scritte (sono stati predisposti test a risposta multipla) di quanto appreso in ogni singolo modulo

Ogni alunno è stato invitato anche ad autovalutarsi e a ritornare sullo stesso argomento, se non ancora da lui interiorizzato, oppure ad ampliare le proprie conoscenze, usufruendo ciascuno di un insegnamento personalizzato.

Si è prestata attenzione al processo che porta all’acquisizione di competenza e che comprende i momenti di:

Acquisizione: L’alunno esperisce informazioni interagendo con l’ambiente esterno
Elaborazione: L’alunno decostruisce quanto acquisito e lo ricostruisce in modo personale
Verifica: L’alunno mette al lavoro le sue competenze, per produrre una performance; attraverso la verifica, l’alunno acquisisce consapevolezza dell’effettiva acquisizione di competenza.  

QUESITI SOMMINISTRATI

Quesito “vero o falso” 

Quesito a scelta multipla

Quesito a completamento

Per visionare alcuni dei suddetti quesiti, cliccare qui

Il criterio utilizzato è stato il seguente:

CRITERIO PERSONALE: Si è considerato qual è stato il progresso dell’alunno rispetto alle sue condizioni di partenza, alle condizioni fisiche, psicologiche, alle caratteristiche culturali dell’ambiente in cui vive…

Per la valutazione docimologica dei risultati ho cercato di seguire  il modello di Klopfer che distingue nove livelli tassonomici:

1.      Conoscenza (riguardo agli argomenti trattati)

2.      Comprensione (capacità di comprendere i concetti presi in considerazione)

3.      Osservazione (curiosità cognitiva dimostrata durante le attività intraprese)

4.      Misurazione   (saper effettuare semplici confronti tra la geometria euclidea e la geometria frattale e saper eseguire determinati calcoli)

5.      Interpretazione e generalizzazione di dati (saper applicare determinate procedure per alcune costruzioni con il logo)

6.      Applicazione (saper usare fractint e il logo per realizzare i vari stadi della costruzione di determinati frattali)

7.      Abilità manuali (saper preparare cartelloni e cartellini necessari per la recita scolastica stabilita)

8.      Riflessione critica (capacità di porsi domande e di cercare le risposte, approfondendo gli argomenti trattati)

9.      Atteggiamenti e interessi (dimostrati durante le attività svolte)

Valutazione “esterna”

 E’ stato compilato da ogni alunno il questionario scaricato dalla cartella “Documenti”, presente nella piattaforma della “ricerca-azione” promossa dall’OPPI, in quanto ritengo che tale "materiale didattico" serva a verificare la capacità degli scolari di trasferire la conoscenza acquisita, utilizzandola in contesti reali, per cui vengono richiesti  processi di pensiero più complessi, nel rispetto dei diversi stili cognitivi e nell'ottica dell'unitarietà del "sapere" e dell'ologrammaticità dell'apprendimento.

 Per la lettura del questionario, compilato da ogni alunno, ho predisposto la seguente griglia:

A – Conoscenze  matematiche

B – Emozioni, analogie, suggestioni     

C - Uso artistico

A1 – Comprensione del concetto di autosimilarità B1 – emozioni primarie: divertimento, allegria… C1 – i frattali nella  grafica-computer
A2 – conoscenza del concetto di “dimensione frattale” B2 – analogie legate alla presenza di “configurazioni frattali” in natura C2 – la bellezza “artistica” dei frattali
A3 - conoscenza dei vari stadi di costruzione del “fiocco di neve” di Koch B3 – emozioni legate all’esperienza scolastica C3 – i frattali nella musica
A4 - conoscenza dei vari stadi di costruzione del triangolo di Sierpinski B4 – analogie legate alla forma geometrica di determinati frattali C4 – i frattali nelle nostre poesie
A5 – conoscenza dei frattali presi in considerazione (felce, albero di Barnsley, curva di Koch, triangolo di Sierpinski, il “corpo” principale a cardioide dell’insieme di Mandelbrot) B5 - suggestioni suggerite dalla “non conoscenza” dei frattali da parte dei familiari e degli amici C5 – i frattali nella nostra recita scolastica di fine anno
     

 

 e successivamente è stata da me preparata la mappa cognitiva visionabile cliccando qui

CONSIDERAZIONI FINALI

La partecipazione alla ricerca-azione ha contribuito ad aumentare la mia curiosità cognitiva e tutti i materiali presenti nella piattaforma, curata da Adalberto Codetta Raiteri, sono stati stimolanti, inducendomi ad approfondimenti personali, sia a livello teorico sia a livello di conoscenza di determinati software.

Ringrazio sentitamente soprattutto Giorgio Pietrocola (esperto, pronto a rispondere a ogni richiesta di consigli e di suggerimenti e sempre disponibile alla proficua collaborazione in rete) e il suo “Tartapelago” http://www.maecla.it/tartapelago.htm  che mi hanno sapientemente stimolata e aiutata ad approfondire la conoscenza del linguaggio LOGO e rivolgo un ringraziamento anche ad Adalberto Codetta Raiteri sia per la sua gentilezza, sia per aver messo a disposizione di noi docenti, coinvolti nell’iniziativa, interessanti documenti e originali griglie, utili per indurci a un’opportuna riflessione metacognitiva sul lavoro didattico prestabilito ed effettivamente svolto con gli alunni.

È stato interessante il confronto con colleghi di scuole di ogni ordine e grado per approfondire un argomento, quale “i frattali”, di cui non è stato ancora predisposto un forte sostegno teorico e mancando una sistematizzazione certa, cioè uno “statuto epistemologico” chiaro e dichiarato, il campo di ricerca è risultato arduo, ma affascinante, perché ci ha fatto vivere la piacevole avventura intellettuale della “scoperta” di  una nuova geometria, ancora tutta da esplorare…

Ringrazio, infine, sia Grazia Raffa, (una poetessa che collabora volentieri con me nella preparazione di determinati materiali didattici), sia tutti i colleghi delle scuole di ogni ordine e grado che hanno partecipato a tale iniziativa, perché mi hanno offerto la possibilità di un confronto allargato e “rassicurante”.

EVENTUALI PROSPETTIVE

Nel libro “Il turista matematico” I.Perterson scrive: “Fin dalle prime applicazioni della geometria frattale, le descrizioni hanno sempre preceduto le spiegazioni. Le teorie che dipendono dai frattali sembrano giuste, ma nessuno ne conosce veramente il motivo. Per compiere un ulteriore progresso in questo campo è necessario trovare una base teorica più solida, che permetta di dedurre le forme geometriche dai meccanismi che le generano. Senza un forte sostegno teorico, gran parte del lavoro sui frattali sembra superficiale e inutile. […] Senza un principio organizzativo, il campo finisce per diventare un giardino zoologico di bestie rare e di classificazioni che lasciano il tempo che trovano”.

Credo che la sistematizzazione della teoria frattale rappresenti la sfida intellettuale che la ricerca scientifica dovrà affrontare, per approdare all’oggettivazione della “scoperta”, verificando l’adeguazione, del modello proposto, agli oggetti sensibili.

Sono convinta, comunque, che studiare, in ambito scolastico, i frattali, (non soltanto dal punto di vista “artistico”, ma anche riguardo alla loro costruzione matematica) sia utile per far “sperimentare” agli alunni come una “scoperta” sia sempre antecedente rispetto alla sua sistematizzazione teorica; inoltre tale studio può aiutare a  comprendere che esistono altre geometrie, oltre a quella euclidea e ciò può far riflettere su quanto segue: anche in matematica la verità è relativa e prima di pronunciare ogni affermazione occorrerebbe precisare: “Se si ammette questa ipotesi, ecco le conclusioni che ne derivano”, acquisendo la consapevolezza che i fondamenti assiomatici sono il frutto del mero accordo della comunità scientifica.

Insomma: dapprima vanno valorizzate l’intuizione e la scoperta, attraverso attività ludiche (la mia più che trentennale esperienza “sul campo” mi porta ad ammettere l’importanza del “piacere intellettuale” per un apprendimento significativo), tenendo conto che gli errori vanno considerati positivamente, in quanto rappresentano le “finestre aperte sul nostro modo di pensare” e, in un secondo momento, avverrà la “formalizzazione”, non dimenticando, però, le parole di Bruno D’Amore: “il rigore non è uno standard qualitativo stabile, ma solo un insieme di accordi variabili nel tempo e nello spazio” (Basti pensare alla critica che dal XIX secolo a oggi viene rivolta proprio agli “Elementi” di Euclide, che erano stati considerati, per secoli, un modello di rigore…)

Ritengo che la “geometria frattale” abbia un suo specifico linguaggio (o che possa essere considerata un “linguaggio”, come abbiamo fatto i miei alunni e io, inserendola nella recita scolastica dedicata a “Comunicazione e incomunicabilità”) al quale avvicinare gli alunni, per far comprendere come la matematica sia un’attività umana in continua “trasformazione”, “evoluzione”, o meglio, come afferma Imre Toth  sia “una scienza complessa, parte integrante dello spirito umano e precisamente un "évenément de l'ésprit".” Reputo meritevoli di essere citate le sue seguenti parole: "La matematica è l'espressione di una libertà umana che si manifesta nella creazione di mondi...". Queste parole sembrano riecheggiare un'importante e altrettanto significativa frase di Georg Cantor, matematico dalle arditissime speculazioni: "L'essenza della matematica è la libertà".  La matematica rappresenta un’esaltante avventura del pensiero umano tanto per l’umanità nel suo complesso quanto per ogni singolo individuo, che vi si accosti con curiosità cognitiva. Come viene riportato nel libro “Fantasia e logica nella matematica” di Luigi Campedelli, la matematica è quella creazione di puro pensiero, che ha la potenza e il fascino di un’opera d’arte. “Se la Divina Commedia è espressione di tanta parte della civiltà cattolica e medioevale, se in Michelangelo è l’esaltazione rinascimentale dell’uomo, se in un’ode carducciana freme l’ansito della continuità della storia e della tradizione”, la matematica rappresenta la genesi e la sintesi di un pensiero essenziale alla mente umana.

Avendo impostato una didattica “costruzionista” ed essendomi posta in uno spirito di eclettismo pluridisciplinare, ritengo che nel percorso seguito insieme con gli alunni siano stati evidenziati gli aspetti creativi, ma anche problematici della geometria frattale. L’obiettivo formativo, che reputo importante, è stato quello di avviare gli scolari a capire l’aspetto dinamico della geometria frattale, la quale  è in continua evoluzione, in costante mutamento, come ogni altra attività umana, perché la matematica non è un bene da custodire gelosamente ed esotericamente, ma una “creazione” del pensiero umano, patrimonio culturale costruito attraverso un difficile e lungo percorso storico, con l’apporto di civiltà diverse, patrimonio non da custodire esotericamente come un tesoro “immutabile”, ma da conoscere, sperimentare, continuando ad arricchirlo con nuove scoperte…

Sono, inoltre, d’accordo con Benoit Mandelbrot quando afferma che la geometria frattale può riuscire a suscitare l’interesse di una comunità matematica più ricca e varia, contribuendo, quindi, a far uscire definitivamente la matematica dal suo isolamento artificioso, rispetto al resto delle attività umane.

CONCLUSIONE “FILOSOFICA”

I frattali rappresentano un’invenzione o una scoperta?

Roger Penrose, platonista convinto,  afferma che l’intricata e caratteristica struttura dei frattali, come l’insieme di Mandelbrot, “non è un’invenzione della mente umana: è stato una scoperta. C’è…come l’Everest”.

Per Roger Penrose «il calcolatore viene usato sostanzialmente nello stesso modo in cui il fisico sperimentale utilizza un’apparecchiatura di laboratorio per esplorare la struttura del mondo fisico».

Io, però, concordo pienamente con quanto scritto da John D. Barrow nel bel libro “La luna nel pozzo cosmico – Contare, pensare ed essere”, dove si  precisa che l’insieme di Mandelbrot è costruito in modo esplicito a partire da un algoritmo; il calcolatore viene usato per generare la struttura, non per esplorarla. “La sua funzione è del tutto diversa da quella di uno strumento come un telescopio o un contatore di Geiger”. Il mondo naturale fa ampio uso degli algoritmi frattali, cioè della replica ripetuta di una struttura fondamentale su scala sempre più piccola. “È, questo, uno schema di riproduzione facile da eseguire: lo riconosciamo nelle ramificazioni degli alberi (quando si passa dai rami più grossi ai ramoscelli più minuti) come nelle strutture microscopiche dei fiocchi di neve e dei fiori. La ragione per cui le figure frattali generate dai matematici appaiono così attraenti dal punto di vista estetico (sono state esposte in importanti gallerie d’arte di tutto il mondo) è il fatto che esse colgono le strutture fondamentali che la natura utilizza per sviluppare la complessità che ci circonda e che, con il processo evolutivo, ci siamo abituati ad apprezzare.”