Recensione
del libro di Martin Gardner Ah! ci sono! Paradossi stimolanti e divertenti, RBA ITALIA
(a cura di Giuseppe Ariano e di Luisa Giannetti)

Il paradosso è un forte  stimolo per la riflessione, una sfida per l’intelletto, un qualcosa di magico, che  rivela poi il trucco, cioè una certa debolezza della capacità di discernimento e rivela anche i limiti di alcuni strumenti intellettuali per il ragionamento.

Il significato della parola deriva dal greco para (contro) e doxa (opinione), è infatti una conclusione che appare inaccettabile.  Secondo la definizione che ne dà Mark Sainsbury è

"una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile".

Tuttavia il termine paradosso, è usato in maniera leggermente differente a seconda dell’ambito in cui viene considerato, infatti  in filosofia viene inteso come sinonimo di antinomia (vera e propria contraddizione), mentre in  matematica   come  una proposizione perfettamente dimostrata, ma lontana dall'intuizione.

Per il nostro autore la definizione di paradosso è abbastanza ampia, come si legge nella prefazione: [...] La parola "paradosso" ha molti significati; qui è usata in senso lato. [...] Tali paradossi sono di quattro tipi fondamentali:

1.      Un’affermazione che sembra falsa, ma che in realtà è vera.

2.      Un’affermazione che sembra vera, ma che in realtà è falsa.

3.      Un ragionamento che sembra impeccabile, ma che porta a una contraddizione logica. (Questo tipo di paradosso logico è detto più comunemente fallacia).

4.      Un’affermazione di cui non si può decidere la verità o la falsità.

La caratterizzazione più suggestiva di un paradosso presumibilmente è dovuta a Étienne Klein in Conversations avec le Sphinx. Les paradoxes en physique in cui si legge: "[...] Le mot est impregné de toutes les nuances de ses racines grecques para et doxa. Para est un préfixe qui indique le voisinage, le décalage, la différence, la singularité. Il suggère l'idée de distance par rapport à quelque chose. [...] Le concept de paradoxe, on le voit d'emblée, séra élastique et polymorphe. Quant au mot doxa, il signifie l'ensemble des opininions reçues sans discussion comme une évidence naturelle, dans une civilisation donnée. La doxa, c'est donc le prejugé et sa peripherie, c'est l'idée en tant qu'elle domine, c'est tout qui echappe au jugement. [...] En somme, est paradoxal tout ce qui s'éloigne de la force de la doxa, à une distance plus ou moins grande."

Il testo di Martin Gardner Ah! Ci sono! paradossi stimolanti e divertenti è una divertente e simpatica  raccolta di paradossi che riguardano varie branche  della matematica, come l’ aritmetica, la geometria, la logica, la probabilità; paradossi noti e meno noti, semplici e più complessi, vecchi e nuovi, accompagnati da disegni chiari e semplici che ci invitano a stimolare la mente, a ragionare e, perché no, a divertirci. Ma tutto questo non inganni: è un classico senza tempo. Ne è indice il fatto che alcuni problemi quali  La matrice magica, Hotel infinito, La scala di aleph, I tappeti di Randi, La signorina Cuorisolitari, I due pappagalli, Magia allo specchio, Girando attorno ad una ragazza possono essere proficuamente usati dagli insegnanti, per introdurre vari argomenti del corso di studi.

Hotel infinito e La scala di aleph sono ottimi per introdurre gli insiemi infiniti e le cardinalità transfinite. La matrice magica è un gran bel divertissement per un'ora di supplenza senza il pericolo di sgolarsi in continui richiami all'ordine e al silenzio, coinvolgendo gli studenti in un gioco pieno di gusto e finezza. I tappeti di Randi costituisce un'attività preziosissima di introduzione alla successione di Fibonacci ed alla sezione aurea. La signorina Cuorisolitari si adatta perfettamente ad illustrare come la probabilità cambi a seconda dei contesti, così come I due pappagalli si adatta perfettamente all'introduzione della probabilità condizionata e serve da invito alla prudenza quando si ha a che fare con il calcolo delle probabilità. Magia allo specchio si presta benissimo ad un'attività concernente le simmetrie piane nello spazio ed infine Girando intorno ad una ragazza costituisce un'ottima spiegazione della condizione di risonanza di certe orbite planetarie, tipo quella Terra-Luna.

Altri paradossi, tipo  Il punto ineludibile, La media ingannevole, Lo sciatore frustrato, L'autista perplesso, Il paradosso del voto, Il dollaro mancante non sfigurerebbero nemmeno tra le prove OCSE- PISA, per l'aggancio alla realtà ed essendo risolvibili attraverso procedimenti euristici, cui, di solito, la nostra scuola non addestra, ma che sono indice di competenze richieste dall'OCSE per l'esercizio di una cittadinanza attiva nel nostro complesso mondo moderno.

Comunque, tutti i paradossi ed i giochi hanno un notevole aggancio con problemi reali, quasi che seguano gli attuali dettami dell’UMI di Matematica per il cittadino

Quanto detto sopra, per sottolineare la modernità e l'attualità del testo di Gardner, potrebbe spaventare qualche lettore, dando forse l'idea che questo sia un libro per studenti o professionisti della Matematica o della Filosofia, al massimo. Non è così! I problemi o i paradossi sono spiegati in maniera chiara e comprensibile ad un lettore medio con una cultura liceale, rendendo il testo adatto per la lettura da parte di tutti coloro che abbiano un minimo di curiosità intellettuale. Si impara più dalla lettura di questa agile opera - il numero delle pagine è duecento circa, ma esse sono piene di figure esplicative e scritte su due colonne larghe- che da interi anni di corso.

Volendo proprio trovare un difetto a questo libro, viene in mente l’uso non proprio ortodosso del paradosso del mentitore nella versione attribuito ad Epimenide, il quale non rappresenta un vero e proprio enunciato indecidibile, in quanto la sua negazione implicherebbe l’esistenza di qualche cretese sincero.

Da ultimo, si aggiunge la soluzione che uno dei due estensori (Giuseppe Ariano) di questa recensione ha dato ad un quesito, proposto nel paradosso Conclusioni Affrettate, riguardante il problema del primogenito. L'esigenza è nata su FOR, ambiente di formazione continua per tutti i docenti italiani, in cui una collega chiedeva aiuto, perché le frequenze date come soluzione da Gardner non le tornavano. In effetti la formulazione del problema non è chiarissima, almeno nella traduzione italiana, e lascia adito ad equivoci. Bisognerebbe controllare la versione originale. Gardner dà ¾ come frequenza di maggiori su una popolazione di 100 famiglie in cui ci siano sempre due figli e 7/12 come frequenza su una popolazione sempre di 100 famiglie, ma con tre figli a testa. Poi si spinge a dire: L'esatta percentuale di figli maggiori di un certo sesso varierà ovviamente con le dimensioni delle famiglie nella popolazione considerata, ma per tutte le popolazioni è superiore ad ½ e per la maggior parte delle popolazioni è ben superiore ad ½. Si può dire che l'affermazione di sopra è un paradosso, perché in un certo senso è sia vera che falsa! Inevitabile conclusione in un libro dedicato ai paradossi... Le frequenze date sono però corrette.

Innanzitutto bisogna partire dalla constatazione, non chiarissima in base al testo, che una femmina nata dopo un maschio, ma prima di un'altra femmina assurge al rango di primogenita. Così per un maschio dopo una femmina, ma prima di un altro maschio.

Consideriamo adesso le quattro distribuzioni equiprobabili di due figli

M M

M F

F M

F F

Come si vede le due righe centrali danno due primogeniti, le altre due uno solo. Dunque 6/8=3/4.

Consideriamo le otto distribuzioni equiprobabili di tre figli

M M M

M M F

M F M

M F F

F M M

F M F

F F M

F F F

La prima e l'ultima riga contribuiscono con un solo primogenito tutte le altre con due. La frazione è 14/24= 7/12

A dire la verità, il buon Martin sbaglia nel dire che la probabilità, o frequenza, rimane sempre maggiore di 1/2. Per dire tutta la verità, facendo un ragionamento analogo per quattro figli, cinque figli etc (si può facilmente ottenere una formula; è l'esercizio che lascio ai miei lettori...) si ottiene una frazione pari a 15/32, 31/80, etc.

Ma perché si può praticamente essere sicuri che la frequenza totale è sempre maggiore di 1/2, nonostante l'abbaglio di Gardner?

A mo' di esempio supponiamo che le famiglie di uno, due, tre, quattro, cinque figli siano equidistribuite (possiamo considerare trascurabile le famiglie con un numero di figli maggiore...).

Allora la frazione di primogeniti totale sarà:

1/5*+1/5*3/4+1/5*7/12+1/5*15/32+1/5*31/80=1531/2400.

Naturalmente le famiglie con un minore numero di figli (si devono escludere le famiglie con zero figli perché si tratta di trovare la percentuale di primogeniti sul numero effettivo di figli) hanno un peso preponderante rispetto a quelle con un numero di figli maggiore (ce n'è di più) e quindi la frazione reale risulta ancora più grande rispetto a quella qui calcolata come caso semplificato. Chi vuole fare una ricerca statistica sull'effettiva distribuzione mondiale del numero di figli per famiglia?