Ultimo aggiornamento: 05/08/2004

 

Léonard de Pise (Fibonacci), « LE LIVRE DES NOMBRES CARRÉE (LIBER QUADRATORUM) », traduit pour la première fois du latin médiéval en français avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, Bruges, Desclée de Brouwer & Cie, 1952

Il “Liber Quadratorum” è il quinto e ultimo libro di Fibonacci. Si tratta di un testo latino medioevale, comprendente XX proposizioni.

Fu composto perché Jean de Palerme gli propose di trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 5, desse sempre un numero quadrato.

Nel libro “Storia della matematica” di Carl B. Boyer Oscar Saggi Mondadori si legge: <<Nel Liber Quadratorum viene presentato oltre al problema “Trovare un numero razionale tale che, se si aggiunge o si sottrae 5 dal suo quadrato, il risultato sia uguale al quadrato di un numero razionale” anche la sua risoluzione: 3 + 5/12 >>

Nella proposizione IX , Leonardo dimostra che, se a e b, primi tra loro, fanno a+b = numero pari, si ha: ab*(a+b)*(a-b)= 24, o un multiplo di 24, numero che è il più piccolo numero “congruo”, risultante dai più piccoli numeri 1 e 3, primi tra loro e di cui la somma è un numero pari (a=3 e b=1)

Per risolvere il problema postogli da Jean de Palerme, nella proposizione XIII Leonardo cerca un numero congruo 24x, di cui la quinta parte sia un numero intero quadrato.

Leonardo segue il seguente ragionamento: si pongono due numeri consecutivi 5 e 4, di cui la somma e la differenza sono due numeri quadrati: 3^2 e 1^2.

Un numero congruo proviene da questi numeri (5; 4; 9; 1), moltiplicando 1 per il doppio di 5, moltiplicando il tutto per il doppio di 4 e moltiplicando il risultato per 9; si ottiene 720 (ciò che risulta moltiplicando 10*72).

Ma la moltiplicazione di 4*9 produce un numero quadrato, perché questi numeri sono entrambi quadrati e la moltiplicazione di questo doppio quadrato (che sarebbe 72), per il doppio di 5 produce il quadruplo di questo quadrato moltiplicato per 5 (cioè 36*4*5). Ma il quadruplo di questo quadrato  (cioè 144, formato da 36*4) forma un numero quadrato; dunque il quadruplo di questo quadrato, moltiplicato per 5, forma il quintuplo di questo quadrato (che è 720) e il quintuplo di questo quadrato, (cioè 3600) moltiplicato per 1, che è un quadrato, forma di nuovo questo quintuplo quadrato; di conseguenza, il numero congruo formato dalla sua quinta parte sarà un numero quadrato. Perciò un numero congruo la cui quinta parte sia un quadrato è 720 e la sua quinta parte è 144 e vanno cercati i quadrati che siano distanziati tra loro ordinatamente di 720; essi sono: 961; 1681 e 2401.

L’autore, però, non spiega la sua scelta dei numeri 31; 41 e 49, di cui i quadrati sono, appunto, in progressione aritmetica di ragione 720.

Comunque tali numeri sono presenti nella proposizione VII del libro II “Aritmetica” di Diophante.

Paul Ver Eecke precisa che questo problema di Fibonacci, è stato risolto algebricamente nell’opera di M.KRAITCHIK “Mathematical Recreations” New York 1842 pag. 27. Tale libro si trova soltanto nella biblioteca del Dipartimento di matematica Giuseppe Peano dell’Università degli Studi di Torino, nella Biblioteca matematica dell’Università degli studi di Firenze e nella Biblioteca centrale dell’Università degli studi di Milano-Bicocca

A proposito di Fibonacci, ringrazio Angelo Sciandra che segnala:

http://www.provincia.parma.it/scuole/ssdannun/Progetti/Sezione%20aurea/mate4.htm

http://www.math.unifi.it/matematicaitaliana/schede_opere/26boncompagni57.html

http://www.performancetrading.it/AT/fib/fibStoria.htm