Ultimo aggiornamento: 25/12/2004

 
     
Marcus Du Sautoy,  "L’ENIGMA DEI NUMERI PRIMI – L’ipotesi di Riemann, il più grande mistero della matematica", Traduzione di Carlo Capararo, Rizzoli, Sesta edizione: ottobre 2004

Questo libro (di 606 pagine) inizia con la descrizione della notizia eccezionale balenata il 7 aprile 1997 sugli schermi dei computer dell’intera comunità matematica; sul sito web del Congresso internazionale che si sarebbe tenuto l’anno seguente a Berlino comparve l’annuncio, da parte del professor Enrico Bombieri, che riguardo all’ipotesi di Riemann c’erano sviluppi fantastici alla conferenza tenuta giorni prima da Alain Connes all’Institute for Advanced Study, in quanto un giovane fisico presente tra il pubblico aveva intuito in un lampo come completare il progetto di Connes. Si trattava, però, di un pesce d’aprile, di cui l’autore fornisce ogni minimo particolare nell’ultimo capitolo…

L’autore sottolinea che i numeri primi sono al centro della matematica; fu Euclide a dimostrare che essi proseguono all’infinito. Gauss ipotizzò che seguono un ordine casuale, come se fossero stati scelti lanciando una moneta e scoprì un nesso tra numeri primi e logaritmi (scoperto anche da Legendre), per catturare il comportamento di tali numeri.

Nel libro viene spiegato, in modo chiaro e “avvincente” (cercando di conciliare l'esigenza di rigore scientifico con la necessità di preparare un'opera divulgativa), che cos’è la sofisticata funzione zeta (apparsa per la prima volta ai tempi di Eulero) e come essa finì per rivelarsi uno strumento potente per lo studio dei numeri primi.

Riemann aveva mescolato i numeri immaginari con la funzione zeta; il punto da cui era partito per elaborare la sua teoria delle funzioni immaginarie era stato il lavoro compiuto da Cauchy e per Cauchy una funzione era definita da un’equazione. Riemann aveva aggiunto la seguente idea: a essere davvero importante era la geometria del grafico definito dall’equazione. Non essendo possibile disegnare il grafico completo di una funzione in cui si inseriscono numeri immaginari, Riemann aveva bisogno di lavorare in quattro dimensioni per illustrare il suo grafico; per lui la funzione zeta era descritta da un paesaggio in quattro dimensioni: due dimensioni servivano a tracciare le coordinate dei numeri immaginari inseriti nella funzione zeta; la terza e la quarta dimensione si potevano poi utilizzare per registrare le due coordinate che descrivono il numero immaginario prodotto dalla funzione. Marcus Du Sautoy descrive con dovizia di particolari il paesaggio immaginario di Riemann. In tali paesaggi immaginari la posizione di tutti i numeri immaginari in cui la funzione va a zero svela ogni cosa; questi punti sono chiamati gli zeri della funzione zeta. Riemann riuscì a trovare un collegamento diretto tra i numeri primi e  i punti situati a livello del mare nel suo paesaggio zeta. Usando le coordinate di quegli zeri , fu in grado di creare una formula che forniva il numero dei primi non maggiori di N. La nuova funzione produceva ancora degli errori, ma i calcoli di Riemann rivelavano che tali errori erano notevolmente più piccoli rispetto a quelli prodotti dalla formula di Gauss. (Infatti, viene riportato il seguente esempio: il logaritmo integrale di Gauss prediceva l’esistenza di 754 numeri primi in più di quanti ce ne fossero realmente nell’intervallo compreso tra 1 e 100 milioni, mentre la funzione perfezionata, introdotta da Riemann, ne prediceva soltanto 97 in più, con un errore approssimativamente pari a un millesimo dell’un per cento). Nonostante la nuova funzione di Riemann rappresentasse un miglioramento rispetto alla funzione logaritmo di Gauss, produceva, comunque, degli errori.

Riemann comprese che utilizzando i punti della mappa dei numeri immaginari, che segnavano i luoghi in cui il paesaggio zeta era al livello del mare, poteva eliminare quegli errori e ottenere una formula esatta per il conteggio dei numeri primi.

Nel suo paesaggio immaginario i numeri primi si convertono in musica, perché ciascun punto a livello del mare suona una nota (Infatti le onde sinusoidali, create da Riemann usando gli zeri del suo paesaggio zeta, rivelavano l’esistenza di una struttura armonica nascosta).

Il mondo immaginario di Riemann aveva generato, quindi, semplici onde che insieme potevano riprodurre le sottili armonie dei numeri primi.

Si trattava di scoprire l’ubicazione di ogni punto a livello del mare e Riemann si rese conto che, per quanto la disposizione dei numeri primi sembrasse caotica, i punti nella sua mappa erano ordinati, essendo allineati lungo una retta. Non gli era possibile vedere abbastanza lontano in questo paesaggio per poter affermare che quest’ordine sarebbe sempre stato rispettato, ma pensava di sì: era nata, così, l’ipotesi di Riemann.

L’importanza della retta di Riemann si può giudicare dal nome che le viene dato oggi dai matematici: la linea critica.

Forse l’intuizione di Riemann sui punti a livello del mare è soltanto un’illusione…

Forse agli estremi orizzonti dei numeri si nascondono delle strutture regolari che dobbiamo ancora scoprire...

La ricerca di una conferma alla convinzione di Riemann, secondo la quale i punti a livello del mare nel suo paesaggio immaginario dovevano trovarsi tutti su una linea retta, ha impegnato e continua a impegnare matematici e fisici, ma, nonostante gli innegabili progressi compiuti,  l’enigma dei numeri primi non è ancora stato risolto.

L’autore ci fa scoprire come la storia di tali numeri si estenda ben oltre i confini del mondo matematico. I progressi nel campo della tecnologia hanno cambiato il modo di fare matematica. Il computer ci ha dato la capacità di vedere dei numeri che prima restavano confinati in un universo inaccessibile. Il linguaggio della fisica quantistica ha permesso ai matematici di articolare strutture e connessioni che non sarebbe stato possibile scoprire senza una stretta collaborazione tra diverse culture scientifiche. Teoria dei numeri, geometria, analisi, logica, teoria della probabilità, fisica quantistica hanno stretto legami inaspettati nella ricerca di una soluzione all’ipotesi di Riemann. La matematica si è trasformata da una disciplina che si occupa di strutture, a una disciplina che indaga le connessioni.

Anche il mondo imprenditoriale  ha avuto una parte importante nella ricerca (vengono ricordate, tra le altre, l' AT & T e la Hewlett – Packard)

Oggi i numeri primi hanno un ruolo centrale nel panorama della sicurezza informatica, dal momento che proteggono, in Internet, i segreti elettronici del mondo dagli occhi indiscreti degli hacker. Cito la cifratura RSA, nata unendo l’iniziale del nome dei componenti del trio del MIT (Massachussetts Institute of Technology): Rivest, Shamir e Adleman; essa salvaguarda gran parte delle transizioni che avvengono in Internet. Si tratta precisamente di un sistema di crittografia a chiave multipla, che si rifà  ai calcolatori a orologio di Gauss e al piccolo teorema di Fermat.

Non va dimenticato, inoltre, che le risonanze dei numeri primi con la fisica quantistica potrebbero rivelare qualcosa sulla natura stessa del mondo fisico.

Ci sono diverse opinioni su quanto si sia ancora distanti da una soluzione.

Molti matematici sono troppo intimoriti per avvicinarsi a questo difficile problema, anche se c’è l’incentivo del milione di dollari in palio per chi lo risolve. Tanti sono i grandi nomi di coloro che hanno tentato e fallito, tra cui Riemann, Hilbert, Hardy, Selberg, Connes, ma oggi non mancano sicuramente matematici abbastanza coraggiosi per provarci. Ci sono coloro che predicono che l’ipotesi di Riemann raggiungerà il suo bicentenario senza essere stata dimostrata. Alcuni, invece, pensano che non potrà resistere ancora a lungo; altri credono che si scoprirà che essa è vera, ma indimostrabile; non manca, poi, chi ritiene che sia falsa. A consolarci resta il fatto che, anche se i numeri primi non dovessero rivelarci i loro segreti, ci hanno guidato e continuano a guidarci nella più straordinaria delle odissee intellettuali.
AGGIORNAMENTO (25/12/2004) - Segnalo che è possibile leggere alcuni brani, tratti dal libro di Marcus Du Sautoy, nella seguente pagina web: http://rizzoli.rcslibri.corriere.it/rizzoli/_minisiti/numeri/leggi.htm