Ultimo aggiornamento: 02/06/2006

 
     

Keith Devlin, “I PROBLEMI DEL MILLENNIO – I sette enigmi matematici irrisolti del nostro tempo”, Traduzione di Isabella C. Blum, Longanesi & C., 2004 (Pagine: 298)

Il volume fa parte della collana «La lente di Galileo» diretta da Piergiorgio Odifreddi

Nel capitolo n° 0 La sfida è lanciata si legge: “Il 24 maggio 2000, a Parigi, in una sala del Collège de France, i due matematici di fama internazionale Sir Michael Atiyah e John Tate – il primo di nazionalità britannica, il secondo statunitense – annunciarono la messa in palio di un premio da un milione di dollari, da destinarsi alla persona (o alle persone) che per prima avesse risolto uno dei sette problemi matematici più difficili rimasti ancora insoluti. Tali problemi, essi dissero, sarebbero stati indicati, da quel momento in poi, come i «problemi del millennio».

La somma di sette milioni di dollari – un milione per la soluzione di ciascun problema, senza limiti di tempo – era stata stanziata da Landon Clay, un ricco americano […] appassionato di matematica. Un anno prima, Clay aveva fondato, nella sua città natale di Cambridge, nel Massachusetts, il Clay Mathematics Institute (CMI), un’organizzazione no-profit finalizzata alla promozione e al finanziamento della ricerca matematica. […]

I sette problemi erano stati selezionati nell’arco di diversi mesi da un piccolo gruppo di matematici di fama internazionale, scelti dalla commissione scientifica del CMI e guidati da Arthur Jaffe, direttore e fondatore del Clay Institute. 

Jaffe […] è titolare della cattedra di matematica «Landon Clay» presso l’Università di Harvard. 

I membri della commissione ritenevano che i sette problemi prescelti fossero, fra quelli rimasti irrisolti, i più significativi della matematica contemporanea. […]

Uno degli esperti che compilarono la lista è Sir Andrew Wiles, che sei anni prima aveva risolto l’ultimo teorema di Fermat. […]”

I sette problemi del Millennio sono i seguenti:

1)     L’ipotesi di Riemann (Si tratta esattamente dell’ultimo problema, rimasto irrisolto, che faceva ancora parte della lista approntata da Hilbert nel 1900. Una dimostrazione dell’ipotesi di Riemann migliorerebbe la nostra comprensione dei numeri primi e delle loro modalità di distribuzione.)

2)     La teoria di Yang-Mills e l’ipotesi del gap di massa (“Le equazioni di Yang-Mills derivano dalla fisica quantistica e furono formulate circa cinquant’anni or sono dai fisici Chen-Ning Yang e Robert Mills per descrivere tutte le forze della natura, eccettuata la gravità. Funzionano benissimo: le previsioni ricavate da queste equazioni descrivono particelle che sono state poi osservate nei laboratori di tutto il mondo. Ma sebbene in termini pratici la teoria di Yang-Mills funzioni, essa attende ancora di essere elaborata come teoria matematica.”)

3)     Il problema P versus NP (Questo è l’unico problema del Millennio che abbia a che fare con i computer. “Si tratta di un interrogativo sull’efficienza con cui i computer possono risolvere problemi. Gli esperti di scienze informatiche suddividono i compiti computazionali in due categorie principali: compiti di tipo P, che possono essere affrontati efficacemente da un computer, e compiti di tipo E la cui soluzione potrebbe richiedere milioni di anni. Purtroppo, la maggior parte dei grandi problemi computazionali che sorgono nell’industria e nel commercio ricade in una terza categoria, NP, che sembra essere intermedia fra N ed E. Ma lo è davvero? Non potrebbe essere solo una versione mascherata di P? Dopo trent’anni di tentativi, nessuno, finora, è stato in grado di dimostrare se P e NP siano, o no, la medesima cosa.")

4)     Le equazioni di Navier-Stokes (“Sebbene non esista una formula generale per risolvere queste equazioni, gli ingegneri impegnati nella progettazione di navi e aeroplani ad alte prestazioni possono comunque avvalersi dei computer per risolvere i singoli casi particolari di tali equazioni in modo approssimato. Quasi sicuramente la soluzione delle equazioni di Navier-Stokes condurrebbe a un progresso nel campo dell’ingegneria aeronautica.")

5)     La congettura di Poincaré (Questo problema, sollevato dal matematico francese Henri Poincaré quasi un secolo fa, muove da un interrogativo apparentemente semplice: come si fa a distinguere una mela da una ciambella? Ecco come lo stesso Poincaré rispose a tale domanda: se tendiamo un elastico intorno a una mela, possiamo poi farlo contrarre fino a ridurlo a un punto, muovendolo lentamente senza strapparlo e senza staccarlo dalla superficie. D’altra parte, se immaginate che lo stesso elastico sia stato teso in modo appropriato intorno a una ciambella, allora non c’è modo di ridurlo a un punto senza rompere l’elastico o la ciambella. Sorprendentemente, nessuno è stato in grado di rispondere a chi si chieda se la stessa idea dell’elastico che si contrae possa servire a distinguere gli analoghi quadri-dimensionali di mele e ciambelle – ed era proprio questo che effettivamente interessava a Poincaré. La sua congettura afferma che l’idea dell’elastico effettivamente identifica mele quadri-dimensionali. Questo problema è al cuore stesso della topologia, una delle branche più affascinanti della matematica contemporanea.)

6)     La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (Come nel caso dell’ipotesi di Riemann, a cui la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è collegata, una soluzione a questo problema contribuirebbe a migliorare la nostra comprensione dei numeri primi.)

7)  La congettura di Hodge ("Di tutti i problemi del Millennio, per un profano questo è forse il più difficile da comprendere. Il cammino intellettuale che portò alla congettura di Hodge iniziò nella prima metà del ventesimo secolo, quando i matematici scoprirono metodi potenti che consentivano di indagare la forma di oggetti complicati. L’idea fondamentale consisteva nel chiedersi in quale misura fosse possibile approssimare la forma d’un dato oggetto servendosi di unità geometriche semplici di dimensioni crescenti. Questa tecnica si rivelò così utile che venne generalizzata in molti modi diversi, portando infine allo sviluppo di strumenti potenti che permisero ai matematici  di catalogare parecchi tipi di oggetti. Purtroppo, tale generalizzazione mascherò le origini geometriche della procedura, e i matematici dovettero aggiungere unità che non avevano alcuna interpretazione geometrica. La congettura di Hodge asserisce che, nel caso di un’importante classe di oggetti (denominati «varietà algebriche proiettive»), le unità denominate «cicli di Hodge» sono, ciò nondimeno, combinazioni di unità geometriche (denominate «cicli algebrici»").