Esplorando un antico sentiero:
teoremi sulla somma di potenze di interi successivi

di Giorgio Pietrocola


Il caso più semplice del problema, che mi divertii ad affrontare, era quello conosciuto soprattutto per l'aneddoto del piccolo Gauss. Si racconta che un maestro, nella seconda metà del settecento, avesse dato, per esercizio in classe ai suoi alunni, il calcolo della somma dei primi cento numeri interi. Solo il giovanissimo Carl Fridrich si avvide che non era necessario fare tutte quelle somme, per arrivare al risultato. Suppongo che si sia subito accorto che questa somma con addendi crescenti formava una sorta di triangolo, lo raddoppiò applicando la stessa bella idea che aveva saputo cogliere nella geometria per il calcolo delle aree, calcolò le unità del rettangolo così ottenuto, scrisse  sulla propria lavagnetta  100*101, dimezzò il risultato e, mentre gli altri stavano ancora all'inizio delle loro laboriose somme, consegnò subito il risultato corretto al suo maestro.

fig.1:  100*101/2

Generalizzando, il problema risulta:

Successivamente, in contesti che ora non ricordo bene, mi imbattei nell'enunciazione di queste altre due uguaglianze vere per ogni n:

La cosa mi incuriosì. Erano ancora polinomi per semplificare il calcolo progressivo di somme di interi. Cambiavano però gli esponenti degli addendi. Prima uno, poi due e tre.  In questi ultimi due casi, però,  il motivo di queste uguaglianze appariva molto meno evidente. Certo, era relativamente facile dimostrare che queste formule valevano per ogni n verificando il caso più semplice e dimostrando, poi, che la verità di questa uguaglianza si eredita da un caso qualsiasi al successivo, ma  questo non diceva nulla su come quelle formule erano state trovate né se ne esistessero altre dello stesso tipo per esponenti maggiori.

In mancanza di altre informazioni, decisi di passare all'azione provando ad approfondire autonomamente. Come prima cosa mi chiesi se esistesse un'analoga formula per la somma delle quarte potenze. Osservando i casi precedenti, mi parve naturale  ipotizzare l'esistenza di un polinomio di quinto grado. Osservando i polinomi precedenti, sembrava facile prevedere i coefficienti dei monomi di quinto e quarto grado e appariva scontato che  il termine noto dovesse continuare ad essere nullo. L'altra metà dei coefficienti, però, appariva  molto meno prevedibile. Per verificare queste mie prime congetture, lasciai incogniti tutti  i coefficienti del mio generico  polinomio, feci un'interpolazione  imponendo un numero di condizioni pari ai coefficienti incogniti ed ottenni un sistema lineare. Ricordo che era la fine degli anni '70, prima dell'avvento degli home computer, ma avevo già uno strumento di calcolo molto sofisticato, una TI58, calcolatrice programmabile della Texas Instrument. La usai con entusiasmo, per risolvere il sistema. Trovate le soluzioni in formato decimale, arrivai facilmente ad intuire le frazioni generatrici e a scriver il polinomio nella seguente forma:

Dopo aver verificato l'effettivo funzionamento del polinomio trovato, mi misi a riflettere con il nuovo dato acquisito sul modo di evolversi di questi polinomi. Vidi che, nonostante le mie congetture fossero state tutte confermate, il risultato trovato non sembrava migliorare le cose. Il problema era che il prossimo polinomio, sempre che fosse esistito, cosa che ormai mi sembrava probabile, avrebbe avuto un coefficiente in più da determinare e, nonostante l'aumento delle informazioni, e i miei notevoli sforzi immaginativi per cercare di sfruttarle, la mia capacità di previsione non era sostanzialmente aumentata. Non mi scoraggiai e continuai a trovare i polinomi nei casi successivi, raccogliendo, di volta in volta i coefficienti trovati, in una tabella
 
1         0 
 1/2     1/2       0 
  1/6     1/2     1/3 
0      1/4     1/2     1/4 
-1/30 0      1/3     1/2     1/5 

0

0   -1/12 0      5/12    1/2     1/6 
  1/42 -1/6     1/2     1/2     1/7 
0    1/12 0   -7/24    7/12    1/2     1/8 
-1/30 0      2/9  -7/15    2/3     1/2     1/9 
0 -3/20 0      1/2  -7/10      0      3/4     1/2     1/10
  5/66 0   -1/2  1   -1      5/6     1/2     1/11
fig.2: coefficienti dei polinomi per le somme di potenze
 
Man mano che i dati aumentavano, sembravano emergere nuove e misteriose regolarità. Il disegno complessivo tuttavia, se esisteva, continuava a rimanere oscuro, vanificando i miei sforzi di venirne a capo.

Riflettei a lungo su questi dati, cercando una chiave per comprenderli, ma alla fine mi arresi.
Cominciai allora a cercare nei libri. Vidi che il problema era stato già affrontato molto tempo prima. Scoprii cose molto belle ed assai interessanti su questo affascinante argomento, ma la mia curiosità non ne fu del tutto appagata.  Questo perché quei coefficienti, che tanto mi avevano interessato, erano ottenuti in modo piuttosto complicato a partire da certi numeri non meno misteriosi, chiamati numeri di Bernoulli, che  non erano altro che una parte  di quegli stessi misteriosi coefficienti che dovevano essere spiegati. Questi numeri, così chiamati, si potevano però ottenere ricorsivamente dai coefficienti binomiali.  Nella precedente tabella l'inizio di questa famosa sequenza numerica  si  trova nella prima colonna (con la sola eccezione di un segno nel valore della seconda riga).

 

fig.3: Ars Conjectandi di Jakob Bernoulli (1654-1705)

Note esplicative

 
Circa venti anni dopo, durante un'altra delle mie non frequenti fasi di esplorazione matematica, mentre ero impegnato in un problema con le matrici, mi ricordai di  quei coefficienti che, con tanta cura, molto tempo prima, avevo messo in forma di matrice triangolare su un quaderno. In quell'arco di tempo la tecnologia aveva fatto passi da gigante e potevo disporre di un computer personale, munito di un foglio di calcolo che permetteva di fare agevolmente  operazioni con le matrici. Copiati quei dati sul foglio elettronico, mi misi ad elaborarli e, con mia grande sorpresa, aiutato sicuramente anche dalla fortuna, trovai quello che tuttora mi sembra un bellissimo risultato e che, comunque,  mi riempì di soddisfazione premiando, inaspettatamente, la mia ostinazione.  Finalmente, dopo quella  lunghissima pausa in cui avevo quasi dimenticato il problema,  mi sembrava di essere riuscito a mettere ordine in quella oscura matrice di numeri che, fino a poco tempo prima, mi era sembrata  sostanzialmente irriducibile! Infatti, avevo trovato un modo immediato e spettacolare per mettere ordine in quei coefficienti: farne la matrice inversa!
Dopo questa trasformazione, come per incanto tutto diventava facilmente prevedibile, le frazioni, sparivano del tutto lasciando al loro  posto numeri interi che, pur nell'alternanza dei segni, e con un "piccolo sfregio", lasciavano trasparire un grande e arcinoto protagonista del calcolo combinatorio:
il triangolo di Tartaglia!
Ecco che cosa si ottiene calcolando la matrice inversa di quella di fig.2 contenente i coefficienti dei polinomi, che danno le somme di potenze.:
 
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 -3 3 0 0 0 0 0 0 0 0
-1 4 -6 4 0 0 0 0 0 0 0
1 -5 10 -10 5 0 0 0 0 0 0
-1 6 -15 20 -15 6 0 0 0 0 0
1 -7 21 -35 35 -21 7 0 0 0 0
-1 8 -28 56 -70 56 -28 8 0 0 0
1 -9 36 -84 126 -126 84 -36 9 0 0
-1 10 -45 120 -210 252 -210 120 -45 10 0
1 -11 55 -165 330 -462 462 -330 165 -55 11

fig.3 : inversa della matrice dei polinomi per le somme di potenze

 
Come si vede, in questa matrice traspare chiaramente quello che in Italia è chiamato triangolo di Tartaglia anche se si nota un'alternanza di segni e l'assenza , in ogni riga, dell'ultimo coefficiente binomiale.  Per caratterizzare questa situazione, comune anche ad altre matrici dalle notevoli proprietà che trovai successivamente,   userò il termine "matrice sfregiata" evocatomi dalla biografia di Niccolo Fontana (1499-1557) detto il Tartaglia proprio a causa di una ferita al volto, che ne segnò l'esistenza.

Queste matrici sfregiate, che a me sono sembrate così interessanti, non sembrano essere molto conosciute. Almeno a giudicare dal fatto che, con le mie ricerche, non sono riuscito a trovarne riscontro né sui libri consultati né sui siti internet che trattano di somme di potenze, o di argomenti ad esse correlati come i numeri di Bernoulli.  Non ho trovato nulla, neppure visitando i siti in lingua  inglese che, normalmente, sono più ricchi di informazioni rispetto ai nostri. Questo naturalmente non significa certo che le proprietà di queste matrici siano sconosciute. Le mie ricerche restano pur sempre assai limitate.  Reputo molto probabile, invece, che siano fatti ben conosciuti da tempo e già pubblicati chissà dove. Che queste matrici possano essere  sfuggite a Faulhaber e a J.Bernoulli, dati gli sviluppi della matematica del loro tempo sembra credibile. Molto meno credibile mi sembra, invece, che siano sfuggite a gente come Jacobi nel '800 fino ad arrivare ai giorni nostri. Del resto sono consapevole di essere solo un dilettante, uno che qualche volta si diverte a giocare con i numeri e che, sebbene già in pensione,  non dispera, da grande, di poter fare il matematico.         Comunque sia, tornando al racconto della mia scoperta, constatata la singolare proprietà  di questa matrice sfregiata, la cui inversa dava quei coefficienti dei polinomi delle somme di potenze su cui tanto avevo riflettuto, volli capire le cause di questo comportamento apparentemente magico.
Quando arrivai a vederne le cause, però, sospesi la mia esplorazione senza dare una dimostrazione formale che appariva complicata da noiose questioni di simbolismo.
Solo ora, a distanza di anni, ho deciso di tornare sull'argomento.
Ecco come ho formalizzato parte delle conoscenze emerse da questo lungo percorso esplorativo:
 

Teoremi sulle potenze di interi successivi.

Teorema 1A  Dimostrazione che la matrice dei coefficienti dei polinomi per le somme di potenze si può ottenere invertendo la matrice sfregiata a segni alterni
Corollario 1A Esemplificazioni sui polinomi per le somme di interi consecutivi
Corollario 2A Numeri di Bernoulli da matrici non triangolari, sfregiate a segni alterni
Teorema 1B Dimostrazione che la matrice dei coefficienti dei polinomi per le somme di potenze si può ottenere invertendo la matrice sfregiata positiva
Corollario 1B Esemplificazioni sui polinomi per le somme di interi consecutivi
Corollario 2B Numeri di Bernoulli da matrici non triangolari, sfregiate positive

Fig.4  Cliccando sulle parole di questa tabella riassuntiva si può seguire in dettaglio il lavoro.  Per facilitare la comprensione e la familiarizzazione con i simboli introdotti, teoremi e corollari sono integrati da esempi e casi particolari a carattere esplicativo.

 
La trattazione riassunta nella precedente tabella, però, non esaurisce completamente ciò che è emerso dalla mia esplorazione. Alcune scoperte collaterali non hanno trovato posto in questa nè in altra sistemazione perché mi sembra di non saperne ancora abbastanza.  La ricerca, anche se lentamente, continua. Mi sembra che le due matrici che si sono imposte alla mia attenzione siano ben lungi dall'esaurire il loro ruolo nei due teoremi che ho dimostrato. Sembrano avere una loro personalità molto sviluppata e fare parte di una classe più ampia di matrici, sfregiate e non, con cui sono strettamente legate da un'armoniosa aritmetica. Il primo fatto eclatante che è emerso è che moltiplicando la matrice di fig.2, inversa della sfregiata a segni alterni, per la sfregiata positiva, in questo preciso ordine perché si tratta di un prodotto non commutativo, si ottiene, mirabile dictu, una matrice, perfettamente risanata, contenente  il triangolo di Tartaglia!
 
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0
1 4 6 4 1 0 0 0 0 0 0
1 5 10 10 5 1 0 0 0 0 0
1 6 15 20 15 6 1 0 0 0 0
1 7 21 35 35 21 7 1 0 0 0
1 8 28 56 70 56 28 8 1 0 0
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 0
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

fig.5 Il Tartaglia risanato

 
A questo punto, visto che il prodotto righe per colonne non è commutativo viene spontaneo chiedersi cosa succede cambiando l'ordine dei fattori. Ebbene, si ottiene ancora una matrice sfregiata ma questa volta non a destra come era per quelle precedenti  bensì a sinistra. Infatti, rispetto al triangolo di Tartaglia non manca più l' uno alla fine di ogni riga ma quello all'inizio.
 
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0
4 6 4 1 0 0 0 0 0 0 0
5 10 10 5 1 0 0 0 0 0 0
6 15 20 15 6 1 0 0 0 0 0
7 21 35 35 21 7 1 0 0 0 0
8 28 56 70 56 28 8 1 0 0 0
9 36 84 126 126 84 36 9 1 0 0
10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 0
11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

fig.5 Il Tartaglia sfregiato a sinistra

 
Ma la strana aritmetica delle matrici sfregiate non finisce qui. La comparsa di una sfregiata sinistra positiva faceva risaltare , per analogia con l'altra, la mancanza  di una  sfregiata sinistra a segni alterni.  In effetti tale matrice si può ottenere facilmente in due modi. Il primo è fare l'inversa della sua gemella positiva, il secondo è moltiplicare la sfregiata destra a segni alterni con l'inversa della sfregiata destra positiva. E se si inverte l'ordine dei fattori? Si ottiene un triangolo di Tartaglia completo ma a segni alternati. Lo stesso risultato che si ottiene invertendo il triangolo di Tartaglia. Finito? tutto qui? Non esattamente ci sono altri casi notevoli come il fatto che se si moltiplica la matrice del triangolo di Tartaglia per la sua sfregiata sinistra escono fuori i coefficienti dei polinomi di Chebyshev... ma questa, semmai, sarà un'altra storia.
 
Appello
Se qualche lettore avesse notizia di pubblicazioni o siti in cui compaiano le matrici presentate in questo articolo farà cosa gradita segnalandomeli. Il mio indirizzo è g.pietrocola@alice.it
link
Somma di potenze di interi successivi - Wikipedia
Numeri di Bernoulli - Wikipedia
Faulhaber's formula - Wikipedia, the free encyclopedia
Power Sum -- from Wolfram MathWorld
Sums of Consecutive Powers Project
The Bernoulli Number Page
Bernoulli number - Wikipedia, the free encyclopedia
 

 

 
Roma,31.10.2008